Sei φ : V → V′ die Abbildung, die v auf die lineare Funktion w → (v,w) abbildet.Welche Eigenschaft muss B erfüllen, …

Question

Aufgabe:

Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum mit einer Basis B und einem Skalarprodukt (·,·). Sei φ : V → V′ die Abbildung, die v auf die lineare Funktion w → (v,w) abbildet.Welche Eigenschaft muss B erfüllen, damit {φ(b) : b ∈ B} genau die zu B duale Basis ist?

Answer 1

Sei \(B=\{b_1, \cdots, b_n\}\). Dann liefert die Definition

der dualen Basis und die Definition von \(\varphi\) die Eigenschaft

\(\delta_{ij}=\varphi(b_i)(b_j)=(b_j,b_i)\).

Das bedeutet, dass \(B\) eine Orthonormalbasis sein muss.