Die gesuchte Abbildung heiße \(\Phi\),
dann ist der Wert von \(\Phi\) auf Paaren aus reinen Tensoren
vorgegeben durch
\(\Phi(v\otimes w,v'\otimes w')=\alpha(v,v')\otimes \beta(w,w')\).
Hier ist zu zeigen für \(c\in K\):
1. \(\Phi(c(v \otimes w), v'\otimes w')=c(\alpha(v,v')\otimes \beta(w,w')\)
Analog für das zweite Argument und
2. \(\Phi((v+\tilde{v})\otimes w,v'\otimes w')=\Phi(v\otimes w,v'\otimes w')+\Phi(\tilde{v}\otimes w,v'\otimes w')\)
Entsprechend für die anderen "Summentypen".
Jedes Element von \(V\otimes W\) ist eine endliche Summe
\(\sum_i v_i\otimes w_i\). Man erhält dadurch notwendigerweise
\(\Phi(\sum_i v_i\otimes w_i, \sum_j v_j'\otimes w_j')=\sum_i\sum_j\alpha(v_i,v_j')\otimes \beta(w_i, w_j')\),
so dass die bilineare Abbildung für ganz \(V\otimes W\) eindeutig definiert ist.