Zeigen Sie, dass es genau eine bilineare Abbildung V ⊗W → X ⊗ Y gibt, die ((v ⊗ w), (v′ ⊗ w′)) → α(v, v′) ⊗ β(w, …

Question

Aufgabe : Seien V,W,X,Y Vektorräume, α : V ×V → X, β : W ×W → Y bilineare Abbildungen. Zeigen Sie, dass es genau eine bilineare Abbildung V ⊗W → X ⊗ Y gibt, die ((v ⊗ w), (v′ ⊗ w′)) → α(v, v′) ⊗ β(w, w′) erfüllt.

Comments

Zeigen Sie, dass es genau eine bilineare Abbildung V ⊗W → X ⊗ Y ...

Muss es nicht heißen

Zeigen Sie, dass es genau eine bilineare Abbildung

V ⊗W \(\times\)V ⊗W → X ⊗ Y ...

Answer 1

Die gesuchte Abbildung heiße \(\Phi\),

dann ist der Wert von \(\Phi\) auf Paaren aus reinen Tensoren

vorgegeben durch

\(\Phi(v\otimes w,v'\otimes w')=\alpha(v,v')\otimes \beta(w,w')\).

Hier ist zu zeigen für \(c\in K\):

1. \(\Phi(c(v \otimes w), v'\otimes w')=c(\alpha(v,v')\otimes \beta(w,w')\)

Analog für das zweite Argument und

2. \(\Phi((v+\tilde{v})\otimes w,v'\otimes w')=\Phi(v\otimes w,v'\otimes w')+\Phi(\tilde{v}\otimes w,v'\otimes w')\)

Entsprechend für die anderen "Summentypen".

Jedes Element von \(V\otimes W\) ist eine endliche Summe

\(\sum_i v_i\otimes w_i\). Man erhält dadurch notwendigerweise

\(\Phi(\sum_i v_i\otimes w_i, \sum_j v_j'\otimes w_j')=\sum_i\sum_j\alpha(v_i,v_j')\otimes \beta(w_i, w_j')\),

so dass die bilineare Abbildung für ganz \(V\otimes W\) eindeutig definiert ist.