Wie prüfe ich ob eine Abbilung linear ist?

Question

Aufgabe: Ist die Abbildung \( f \) linear?

i) \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto x^{2}-y^{2} \)

ii) \( V, W \) seien Vektorräume und \( g: V \rightarrow W \) sei ein Vektorraumisomorphismus. \( f \) sei das Inverse von \( g \). (I.e. \( f \circ g=\mathrm{id}_{V} \) und \( g \circ f=\mathrm{id}_{W} \), wobei \( \mathrm{id}_{V} \) und id \( _{W} \) die Identitätsabbildungen sind)

iii) \( f: \mathbb{Z}_{3} \rightarrow \mathbb{Z}_{3}, x \mapsto x^{3} \).

iv) \( V \) sei ein beliebiger Vektorraum, \( 0 \neq v \in V \) ein beliebiges Element und \( f: V \rightarrow V \) definiert durch \( f(x)=x+v \)

Begründen Sie ihre Antworten!

Answer 1

i) f ist surjektiv und die zwei linear unabhängigen Vektoren (1,1) und (1,-1) liegen im Kern. Damit kann die Abb. nach dem Dimensionssatz nicht linear sein.

ii)Da ein Inverses existiert ist g bijektiv. Damit existiert zu jedem x bzw. y∈W ein a bzw. b ∉ V mit g(a)=x bzw.  g(b)=y.

f(x+y)=f(g(a)+g(b)) =f(g(a+b)) ,da g linear

=(f°g)(a+b)=id(a+b)=a+b=f(x)+f(y) da f(x)=(fg)(a)= a analog für b.

Analog für homogenität.

iii)man kann für jeden der drei Werte nachrechnen, dass f=id gilt . Letzere ist linear.

iv) Nein, da f(0) ≠ 0.