Sei \( (G, *) \) eine abelsche Gruppe und \( g_{i} \in G . \) Wir definieren das Produkt
\( \prod \limits_{i=1}^{n} g_{i}:=g_{1} * g_{2} \cdots * g_{n} \)
Aufgabe 4 : Sei \( n>0 \) beliebig. Es bezeichne \( S_{n}:=(S(\{1, \ldots, n\}), \circ) \) die Gruppe der Permutationen und \( \{-1,1\}:=(\{-1,1\}, \cdot) \) die multiplikative Gruppe mit 2 Elementen. Zeigen Sie: Die Abbildung
\( \begin{aligned} \operatorname{sgn}: S_{n} & \rightarrow\{-1,1\} \\ f & \mapsto \prod \limits_{1 \leq i<j \leq n} \frac{f(j)-f(i)}{j-i} \end{aligned} \)
ist ein wohl definierter Gruppenhomomorphismus (vgl. Aufgabe 2, Blatt 5). 4 Punkte
