Sei A≠leere Menge. Zeigen Sie, dass für eine Abbildung f: A→B folgende Aussagen äquivalent sind

Question

Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe:

Sei A≠leere Menge. Zeigen Sie, dass für eine Abbildung f: A→B folgende Aussagen äquivalent sind.

I) f ist injektiv

II) Es gibt eine Abbildung g: B→A mit g°f = id_A

III) Für alle Mengen C und Abbildungen h₁: C→A, h₂: C→A gilt: Aus f°h₁=f°h₂ folgt h₁=h₂

Ich verstehe wieso die drei aussagen äquivalent sind aber ich weiß nicht wie ich das beweisen soll...

Comments

Sei  A = {1;2}  und  B = {3;4}

f: A→B    mit f(1) := 3 , f(2) := 4   ist injektiv

II) Es gibt eine Abbildung g: B→A mit g°f = idA

Für beliebiges  g: B→A    ist  g°f  überhaupt nicht definiert, da  z.B. g(f(3))  keinen Sinn macht.

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Wenn du wüsstest, was g°f bedeutet, hättest du diese "Antwort" vielleicht nicht geschrieben.

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Du hast recht. War eine totale Fehlzündung meinerseits.

Ziehe die Antwort zurück.

Answer 1

Hallo.

\((ii)\Rightarrow(i):\) Angenommen eine solche Abbildung \(g:B \to A\) mit der Eigenschaft \(gf=Id\) gibt es. Um die Injektivität zu zeigen, seien \(x,y \in A\) Dann gilt:

\( f(x) = f(y) \Rightarrow g(f(x))=g(f(y)) \Leftrightarrow (gf)(x)=(gf)(y)\Leftrightarrow Id(x)=Id(y) \Leftrightarrow x=y \Rightarrow f\) ist injektiv

\((i)\Rightarrow(iii):\) Klar. (Die Komposition injektiver Abbildungen ist wieder injektiv)

\((iii)\Rightarrow(ii):\) Das überlasse ich dir. (Beachte hier die Fallunterscheidung \(x\) liegt im Bild von \(f\) oder nicht.) \(\square\)