Zeigen, dass folgende Aussagen äquivalent sind: Mengen und Abbildungen

Question

Aufgabe:

Seien \( X, Y \) nichtleere Mengen und \( f: X \rightarrow Y \) eine Abbildung. Wir definieren die Abbildung

\( g: \mathcal{P}(Y) \rightarrow \mathcal{P}(X), g(A)=f^{-1}(A) \)

Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

i) Die Abbildung \( f \) ist surjektiv.

ii) Für alle \( A \subseteq Y \) gilt \( f\left(f^{-1}(A)\right)=A \).

iii) Die Abbildung \( g \) ist injektiv.

Problem/Ansatz:

Hallo, mir fehlt in der Aufgabe leider jeglicher Ansatz und komme wirklich gar nicht voran.

Answer 1

i) Die Abbildung \( f \) ist surjektiv.

==>  Für alle y∈Y existiert ein x∈X mit f(x)=y

==>  Jede Teilmenge A von Y ist Bild einer Teilmenge B von X.

   Und dabei ist B=f^(-1)(A) und f(B)=A

         also f(f^(-1)(A) )=A,also gilt:

ii) Für alle \( A \subseteq Y \) gilt \( f\left(f^{-1}(A)\right)=A \).

Seien nun M und N Teilmengen von Y, also Elemente von P(Y)

und sei g(M) = g(N) , also f^(-1)(M) = f^(-1)(N).

Da f eine Abbildung ist gilt also auch  f(f^(-1)(M)) =f( f^(-1)(N)).

Dann folgt wegen ii)

   \( M =  f\left(f^{-1}(M)\right)= f\left(f^{-1}(N)\right)=N \).

Also folgt insgesamt aus g(M) = g(N) auch M=N , d.h.

iii) Die Abbildung \( g \) ist injektiv.

Sei nun y∈Y, dann ist für "f ist surjektiv."

zu zeigen, dass es ein x∈X gibt mit f(x)=y.

Angenommen, es gibt kein x∈X mit f(x)=y.   #

Betrachte die Menge M = {y}. Dann ist g(M)=f^(-1)(M)

eine Teilmenge N von X. Und f(N) eine Teilmenge A von X.

==>  g(A)=f^(-1)(A) = N . Also g(A)=g(M) und weil

g injektiv ist, also A=M. Also y∈A=f(N) . Damit existiert

ein x∈N mit f(x)=y und wegen N⊆X also ein x∈X mit f(x)=y.

       Widerspruch zu #, also

ist f surjektiv.