Sei X eine Menge und d1 und d2 Metriken auf X . Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 3 (4 Punkte)
Sei \( X \neq \emptyset \) eine Menge und seien \( d_{1} \) und \( d_{2} \) Metriken auf \( X \). Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) Jede \( d_{1} \)-offene Menge von \( X \) ist \( d_{2} \)-offen;
(ii) für jede Folge \( \left(x_{n}\right) \) in \( X \) mit \( d_{2}-\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x \) für ein \( x \in X \) gilt \( d_{1}-\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x \).
Hinweis: Betrachten Sie eine geeignete Abbildung.

mit welchem beispiel kann ich das zeigen?

Comments

Nimm als Abbildung

$$ (X,d_2)\to (X,d_1), ~~x\mapsto x$$

Beide Aussagen bedeuten dann, dass diese Abbildung stetig ist.