Überprüfe ob es sich um eine Norm handelt

Question

Hallo ihr Lieben,

ich soll überprüfen ob es sich bei folgendem Ausdruck um eine Norm handelt:

$$||x||_{\frac {1}{2}}=(\sum \limits_{j=1}^{n}(x_j)^{\frac {1}{2}})^2, x \in R^2$$

Problem/Ansatz:

$$\text{zz:} ||x||_{\frac {1}{2}} = 0 \iff x=0$$

Hiervon zeige ist erst einmal die Rückrichtung:

$$x=0 \Rightarrow ||x||_{\frac {1}{2}} = (\sum \limits_{j=1}^{n}(0)^{\frac {1}{2}})^2 = 0$$

Bei der Hinrichtung komme ich leider nicht zurecht, jetzt weiß ich nicht ob das an mir liegt, oder ob es sich halt um keine Norm handelt.

$$\text{zz:} ||ax||_{\frac {1}{2}} = |a|*||x||_{\frac {1}{2}}$$

Das habe ich hinbekommen, spare mir hier aber mal die Schreibarbeit. Beim letzten Schritt, der Dreiecksungleichung, weiß ich nicht, wie ich das mit dem Summenzeichen anstellen muss, also wie man darin die Ungleichung anwendet.

$$\text{zz:} ||x+y|| \leq ||x|| + ||y||$$

Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen, vielen lieben Dank .D

Comments

Ist denn x_j ^(1/2) überhaupt für alle x_j ∈ℝ definiert ?

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Eben nicht, das ist ja irgendwo die Sache, die ich mich frage. I mean das gilt ja erst einmal nur für alle x größer oder gleich 0. Jetzt ist es ja so, dass eine Norm grundsätzlich größer oder gleich 0 sein muss, aber was passiert mit den restlichen, negativen Zahlen? Die fallen ja nicht einfach unter den Tisch

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Wähle z.B. \(n=2\), \(x=\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)\) und \(y=\left(\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}\right)\) und rechne nach, dass die Dreiecksungleichung nicht gilt.

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Ahhh, jetzt hab ich das glaub ich verstanden. Sei also n=1 x=(1,0) und y=(0,1), dann ist:

$$ \|x+y\|_{\frac{1}{2}}=\left(\sum \limits_{j=1}^{2}\left(|x+y|_{j}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{2} = (\sqrt{|x_1+y_1|}+\sqrt{|x_2+y_2|})^2 = (\sqrt 1 + \sqrt 1)^2 = 4$$

$$ \|x\|_{\frac{1}{2}} + |y|_{\frac{1}{2}}=\left(\sum \limits_{j=1}^{2}\left(|x|_{j}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{2}+\left(\sum \limits_{j=1}^{2}\left(|y|_{j}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{2} $$

\(= (\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})^2+(\sqrt{y_1}+\sqrt{y_2})^2=1^2+1^2 = 2 \)

Daraus würde folgen: \(\|x+y\|_{\frac{1}{2}} \geq \|x\|_{\frac{1}{2}} + |y|_{\frac{1}{2}} \)

und da ist der Widerspruch zu dem Axiom. Ich hoffe mal das ist so richtig, wenn ja dann vielen Dank an dich und auch an lul/mathelf

Answer 1

Hallo

überprüfe ob es für n=2 eine Norm ist, falls da |xj|^1/2 steht  da kannst du alles ausschreiben und überprüfen

lul

Comments

Vielen Dank für deine Antwort. Ich bin mir nicht ganz sicher, ob es das ist was du meinst:

Für n=2:

$$||x||_{\frac{1}{2}} = (\sum \limits_{j=1}^{2}(x_j)^{\frac{1}{2}})^2 = (\sqrt{x_1+x_2})^2=x_1+x_2$$

Ich weiß jetzt eben nicht so recht, was mir dieses Ergebnis sagen soll, könntest du das etwas näher erklären?

MfG David

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Hallo

eine Norm kann es ja nicht sein, wenn es für negative Komponenten nicht gilt!

damit bist du also direkt fertig!

Falsch umgeschrieben hast du das auch :∣∣x∣∣ = \( (\sqrt{x_1} +\sqrt{x_2})^2\)  nicht \( \sqrt{x_1+x_2} \)

lul

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Achso ja klar beim umschreiben war n Flüchtigkeitsfehler. Also kann ich einfach sagen, dass das net für alle x definiert ist und fertig, ok. Danke für deine Hilfe -D

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Das ist mir jetzt etwas unangenehm, aber ich habe gerade gemerkt, dass ich einen ganz signifikanten Fehler in meinem Ausdruck drin hatte. Im folgenden ist der korrekte Ausdruck, mit ergänzten Betragsstrichen:

\( \|x\|_{\frac{1}{2}}=\left(\sum \limits_{j=1}^{n}\left(|x_{j}|\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{2}, x \in R^{2} \)

Das heißt jetzt aber auch, dass der Ausdruck für alle x definiert ist und dann wäre ich wieder bei meiner ursprünglichen Frage von oben.

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Hinrichtung habe ich doch hinbekommen, aber bei der Dreiecksungleichung weiß ich wirklich nicht weiter, wie ich das mit der Summe anstelle

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Nochmal schreibs in n=2

lul

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\( \|x\|_{\frac{1}{2}}=\left(\sum \limits_{j=1}^{2}\left(x_{j}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{2} = (\sqrt {x_1}+ \sqrt {x_2})^2 = x_1 + 2\sqrt {x_1x_2}+x_2 \)

Soweit so gut, damit ich das jetzt richtig verstehe: Ich soll an diesem Ausdruck hier oben jetzt die Normaxiome durchgehen, korrekt?