Abstand mittels 4-norm induzierter Metrik

Question

Aufgabe:

Berechne den Abstand der Vektoren v =  \( \begin{pmatrix} 3\\-4\\12 \end{pmatrix} \) und w = \( \begin{pmatrix} -9\\12\\3 \end{pmatrix} \) der von der 4-Norm induzierten Metrik

Problem/Ansatz:

Im Buch steht für die Definition einer norm-induzierten Metrik:

"Definition 9.12 Sei d eine Metrik auf einem Vektorraum \( K^{n} \) und sei || * || eine Norm auf diesem. Gilt d (x,y) = || x - y || für alle x, y ∈ K, dann nennt man die Metrik d durch die Norm || * || induziert."

Versteh ich das in meiner kindlich-naiven Unwissenheit richtig, dass die Metrik als norm-induziert ist, wenn der Abstand (x,y) dem Betrag der Substraktion beider Vektoren entspricht.

Also, d (x,y) = \( \begin{pmatrix} -9\\12\\3 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 3\\-4\\12 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} -12\\16\\-9 \end{pmatrix} \)

So! Dann ist der Abstand \( \sqrt{(-12)² + 16² + (-9)²} \) = \( \sqrt{481} \)

Das ist jetzt der normale Abstand zwischen den beiden Vektoren. Aber der entspricht doch nicht dem Betrag von v und w. Und da fehlt ja jetzt noch die Information, dass der ganze Spaß 4-norm-induziert ist.

Kann bitte jemand etwas Licht ins Dunkle bringen.

Danke und liebe Grüße

Marceline,

The Vampire Queen

Answer 1

Hallo Marceline!

Du hast es richtig verstanden. Laut der Definition musst du den Abstand so berechnen:

d(v,w) = || v - w ||₄ = || \( \begin{pmatrix} 3\\-4\\12 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} -9\\2\\3 \end{pmatrix} \) || ₄

Du hast das ganze richtig gemacht, aber die vektorreihenfolge falsch als v - w sollte es sein und nicht w-v. und du musst die wurzel \( \sqrt[4]{x} \) und nicht hoch 2 sondern hoch 4 machen. zB: (3)⁴

Hoffentlich hast du es verstanden :)

Comments

Vielen Dank, rejes.

Woher weiß ich denn ob ich || v - w || oder || w - v || mache. bzw. ist das nicht letzlich egal, weil es ja eh um den Betrag geht?

Habe es jetzt ausgerechnet und als Lösung 17,4552 raus.

Danke und liebe Grüße!

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Dein w ist falsch. Vgl. auch Kommentar unten.

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Mir fällt gerade auf, es ist eigentlich relativ egal, weil die minus nicht gezählt wird du musst das ganze plus nehmen und falls ein Zahl ein negatives Vorzeichen hat musst du es einfach ignorieren.

Sorryy mach weiter so (Y)

Ich muss die selbe aufgabe machen bei mir kommt gerundet 13 raus.

Ich glaube das kommt davon weil dein W falsch ist.

Answer 2

Die Norm ist der Abstand eines Vektors zum Ursprung.

Eine Metrik gibt den Abstand zwischen verschiedenen Vektoren an.

Aus einer Norm kann man eine Metrik konstruieren indem man definiert, dass der Abstand zweier Vektoren gleich dem Abstand der Differenz zum Ursprung ist.

Die Metrik ist dann von der Norm induziert.

Unterschiedliche Normen führen dann zu unterschiedlichen Abstandsbegriffen.

Dann ist der Abstand √((−12)²+16²+(−9)²)

Laut 2-Norm, ja. Du sollst aber die 4-Norm verwenden.

Comments

Danke, Oswald für die Antwort.

Ok, dann ist die Norm von v

\( \sqrt[4]{3^{4} + (-4)^{4} + 12^{4}} \) ≈ 12.0486

und die Norm von w

\( \sqrt[4]{(-9)^{4} + 2^{4} + 3^{4}} \) ≈ 9.0331

Und die Metrik von v und w wäre dann

\( \sqrt[4]{(-12)^{4} + (16)^{4} + (-9)^{4}} \) ≈ 17,4552

Ist das jetzt schon das Ergebnis? Also einfach normal den Abstand zweier Vektoren messen, nur statt mit 2 potenziert, eben mit 4 potenziert?

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Nein es ist falsch, (3+9)⁴ + (-4-2)⁴  + (12 - 3)⁴ danach wird es zur (12)⁴ +(-6)⁴ +(9)⁴

^{Das ganze wird mit wurzel gemacht \( \sqrt[4]{x} \) .}

^{Nach dem du die wurzel gezogen hast kommt am ende gerundet 13 raus.}