Aufgabe:
Berechne den Abstand der Vektoren v = \( \begin{pmatrix} 3\\-4\\12 \end{pmatrix} \) und w = \( \begin{pmatrix} -9\\12\\3 \end{pmatrix} \) der von der 4-Norm induzierten Metrik
Problem/Ansatz:
Im Buch steht für die Definition einer norm-induzierten Metrik:
"Definition 9.12 Sei d eine Metrik auf einem Vektorraum \( K^{n} \) und sei || * || eine Norm auf diesem. Gilt d (x,y) = || x - y || für alle x, y ∈ K, dann nennt man die Metrik d durch die Norm || * || induziert."
Versteh ich das in meiner kindlich-naiven Unwissenheit richtig, dass die Metrik als norm-induziert ist, wenn der Abstand (x,y) dem Betrag der Substraktion beider Vektoren entspricht.
Also, d (x,y) = \( \begin{pmatrix} -9\\12\\3 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 3\\-4\\12 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} -12\\16\\-9 \end{pmatrix} \)
So! Dann ist der Abstand \( \sqrt{(-12)² + 16² + (-9)²} \) = \( \sqrt{481} \)
Das ist jetzt der normale Abstand zwischen den beiden Vektoren. Aber der entspricht doch nicht dem Betrag von v und w. Und da fehlt ja jetzt noch die Information, dass der ganze Spaß 4-norm-induziert ist.
Kann bitte jemand etwas Licht ins Dunkle bringen.
Danke und liebe Grüße
Marceline,
The Vampire Queen