So macht es wohl Sinn:
Sei \(M\) die Menge aller Funktionen \( f : N → \{0, 1\}\). Zeigen Sie, dass die Abbildung
\(d : M × M → \mathbb{R} \) mit d(f,g) = \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{|f(n)-g(n)|}{2^{n-1}} \) eine Metrik auf M definiert.
1. pos, def. d(f,g) = 0
<=> \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{|f(n)-g(n)|}{2^{n-1}} \)
Da alle Summanden ≥ 0 sind, geht das nur, wenn alle gleich 0 sind,
also für alle n∈ℕ gilt f(n)=g(n) , also f=g .
Umgekehrt ist bei f=g die Summe natürlich 0.
2. Symmetrie ist klar wegen |f(n)-g(n)| = |g(n)-f(n)|.
3. Für die Dreiecksungleichung musst du schauen, ob für 3 Funktionen
f,g,h dieser Art immer gilt
\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{|f(n)-g(n)|}{2^{n-1}} \)≤ \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{|f(n)-h(n)|}{2^{n-1}} \)+ \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{|h(n)-g(n)|}{2^{n-1}} \).
bzw.
\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{|f(n)-g(n)|}{2^{n-1}} \)≤\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{|f(n)-h(n)|+|h(n)-g(n)|}{2^{n-1}} \)
Da die f(n), g(n) und h(n) alle nur 0 oder 1 sind, ist das wohl auch klar.
