Aufgabe:
"Hamming Metrik:"
Sei A = {a1, a2, ..., aM} ein endliches Alphabet.
Auf den Codes x = (x1, ..., xN) der länge N, mit xn ∈ A für n = 1, ..., N , definiert man d: AN x AN → ℝ (x,y) ↦ d(x,y) durch
d(x,y) := Anzahl der Elemente in {n ∈ {1, ..., N}: xn ≠ yn} := | {n ∈ {1, ..., N}: xn ≠ yn} |
Zeigen Sie, dass dadurch eine Metrik auf dem Coderaum definiert wird.
Problem/Ansatz:
Also die ersten beiden Bedingungen einer Metrik d(x,y) = 0 ⇔ x=y und d(x,y) = d(y,x) sind mir klar.
Bei der dritte Bedingung: d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) bin ich mir nicht sicher.
Darf ich einfach sagen: " Sei A das Alphabet mit A = {0,1} " und das damit beweisen?
Oder muss ich den Beweis allgemein halten, also auch für ein Alphabet welches beispielsweise die Länge M=100 hat?
Für "Bits" wie sie in der Informatik vorkommen (Also A = {0,1}) kann ich die Aufgabe alleine lösen, aber bei der anderen Variante hätte ich keine Idee.