1.
Man zeige, dass sich die Hamming-Metrik auf n-Bits verallgemeinern lässt, d.h. für N = {0;1}n gibt
d : N x N → ℝ, (p, q) ↦ Anzahl von {i ∈ ℕ : pi ≠ qi;1 ≤ i ≤ n}
eine Metrik auf N.
Man beschreibe, wie sich eine Cauchy-Folge in N bezüglich dieser Metrik verhalten muss.
2.
Wir betrachten die Menge R mit der Standardmetrik.
a) Ist die Abbildung f: ℝ → ℝ>0 surjektiv, streng monoton wachsend und stetig liefert die Abbildung
df : ℝ x ℝ → ℝ, (x, y) ↦ |f(x) − f(y)|
eine Metrik auf R.
b) Man zeige, dass die Folge der (xn)n∈ℕ>0 mit xn := f -1(\( \frac{1}{n} \)) bezüglich df eine Cauchy-Folge ist, aber nicht bezüglich der Standardmetrik.
Falls euch Ideen/Lösungen zu Teilaufgaben einfallen, würde ich mich über eine Antwort freuen:)
