Untersuchen Sie, ob die angegebene Abbildung eine Metrik auf X definiert

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die angegebene Abbildung \( d: X \times X \rightarrow \mathbb{R} \) eine Metrik auf \( X \) definiert:

A) \( X=\mathbb{R}, \quad d(x, y):=\frac{|x-y|}{1+|x-y|} \)

B) \( X=\mathbb{R}, \quad d(x, y):=\sqrt{|x-y|} \)

C) \( X=(0, \infty), \quad d(x, y):=\frac{|x-y|}{x y} \)

Ansatz:

Ich habe drei Abbildungen gegeben, wobei ich zeigen soll, dass die Abbildungen eine Metrik darstellen. Nun weiß ich nicht, wie ich die Eigenschaften an den einzelnen Abbildungen zeigen soll.

Answer 1

Hallo Sandra,

Du musst hier einfach die Eigenschaften nachrechnen. Da gibt's nicht viel zu beachten.

Als Beispiel mach ich mal die b)

1.Positive Definitheit:

Für \(x,y\in\mathbb{R}\) ist

$$ d(x,y) = \sqrt{|x-y|} ≥ 0 $$

Außerdem

$$ \begin{aligned} d(x,y)=0 &\Leftrightarrow\sqrt{|x-y|} = 0 \\&\Leftrightarrow |x-y|=0 \\&\Leftrightarrow x=y\end{aligned}$$

2. Symmetrie

Seien \(x,y\in\mathbb{R}\), dann gilt

$$ d(x,y) = \sqrt{|x-y|} = \sqrt{|y-x|} = d(y,x)$$

3. Dreiecksungleichung
\(x,y,z \in\mathbb{R}\)

$$ \begin{aligned} d(x,z) &= \sqrt{|x-z|} \\ &=\sqrt{|x-y+y-z|} \\&\le  \sqrt{|x-y|+|y-z|}\\&\le\sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}\\&=d(x,y)+d(y,z) \end{aligned} $$

Für die erste Ungleichung verwendest du die Dreiecksungleichung vom Betrag. Für die zweite:

\( a,b ≥0 \)

$$ \begin{aligned}\sqrt{a+b} &\le \sqrt{a+2\sqrt{ab} + b}\\&=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} \\&=\sqrt{a}+\sqrt{b}\end{aligned}$$

Also ist d eine Metrik. Bei den anderen beiden ist das Vorgehen ähnlich.

Comments

Ahhh ok vielen Dank bei c) ist es mir ersichtlich nur bei a) habe ich Probleme noch . Wie zeige ich es dort ?m

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Bei der a) positive Definitheit und Symmtrie ist klar. Das schreibt man einfach hin. Zur Dreiecksungleichung:

Vorüberlegung:

die Funktion \( f(x) = \frac{x}{1+x} \) ist für \( x \ge 0 \) monoton wachsend. Also gilt: \( 0 \le x \le y \implies f(x) \le f(y) \).

Wenn du dir das klar gemacht hast, kannst du die dritte Eigenschaft nachweisen, denn für \( x,y,z \in \mathbb{R} \):

$$ \begin{aligned} d(x,z) &= \frac{|x-z|}{1+|x-z|} \\\\&= f(|x-z|) \stackrel{(i)}{\le} f(|x-y| + |y-z|) \\\\&= \frac{|x-y| + |y-z|}{1+|x-y|+|y-z|} \\\\&= \frac{|x-y|}{1+|x-y|+|y-z|} + \frac{|y-z|}{1+|x-y|+|y-z|} \\\\&\stackrel{(ii)}{\le} \frac{|x-y|}{1+|x-y|} + \frac{|y-z|}{1+|y-z|} \\\\&=d(x,y)+d(y,z) \end{aligned}$$

Jetzt musst du nur noch (i) und (ii) begründen.

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Und wie sieht die Dreiecks Ungleichung bei c) aus ?

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Sag doch gleich, dass du nur die Lösung haben möchtest. Wie wäre es mit selber versuchen? Das ist nun wirklich keine Kunst und stumpfes Einsetzen. So viel sollte man doch im 2. Semester schon können.