Ungleichung Cauchy Schwarz

Question

Aufgabe:

Folgern Sie aus | x1+x2|≤\( \sqrt{2} \)*\( \sqrt{x1^2+x2^2} \) :

\( \frac{|x1+x2|}{2} \) ≤ \\( \sqrt{x1^2+x2^2} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß wenn ich durch Wurzel 2 teile bekomme ich fast den Ausdruck. Meine Frage ist wie bekomme ich die Wurzel weg ?

Answer 1

Bedenke:  √2 < 2 , also   1/2 < 1/ √2 .

Answer 2

|x1 + x2 | <= √2 * √ ( x1 ^2 + x^2 ^2 )

Auf beiden Seiten steht was positives.
Die Aussage bleibt wahr auch wenn quadriert wird
( x1 + x2 ) ^2 <= 2 * ( x1 ^2 + x2 ^2 )
x1^2 + 2 * x^1*x2 + x2 ^2 <= 2x ^2  2*x^2 ^2
2 * x^* x2 <= x1 ^2 + x2 ^2
0 <= x1 ^2 - 2 * x^* x2 + x2 ^2
0 < = ( x^1 + x^2 ) ^2

Rechts steht was positives oder null.
Die Aussage ist daher richtig.
Ich weiß allerdings nicht ob dies eine
Antwort auf deine Frage ist.