Richtungsableitung und partielle Ableitung

Question

Aufgabe:

Sei f: ℝ² →ℝ definiert durch

f(x,y) = (x²y)/(x²+y²) für (x,y) ungleich (0,0)

            (0,0) für (x,y) = (0,0)

Beweist werden soll, dass die Richtungsableitung \( \frac{∂}{∂v} \) f(0,0) für alle Richtungen v∈ℝ² \{(0,0)} existieren.

Und wie gebe ich dann die partiellen Ableitungen \( \frac{∂}{∂x} \) f(0,0) und \( \frac{∂}{∂y} \) f(0,0) an?

Über hilfe wäre ich sehr dankbar, da ich nicht weiß, was ich machen soll.

Answer 1

Hallo,

sei $$ f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, (x,y)\mapsto \begin{cases}\frac{x^2y}{x^2+y^2}, \text{ falls } (x,y)\neq (0,0) \\ 0\quad \quad  , \text{ falls } (x,y)=(0,0)\end{cases}$$ Erstmal ist \(f\) stetig, da \(|f(x,y)|\leq |y|\) auf \(\mathbb{R}^2\).

Für \(v=(v_1,v_2)\) mit \(||v||=1\) gilt zudem:$$\partial_v f(0,0)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f((0,0)+tv)-f(0,0)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(tv_1,tv_2)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\frac{t^3v_1^2v_2}{t^2(v_1^2+v_2^2)}}{t} \\ =\lim\limits_{t\to 0}\frac{tv_1^2v_2}{t(v_1^2+v_2^2)} =\lim\limits_{t\to 0}\frac{v_1^2v_2}{||v||^2}=\lim\limits_{t\to 0}v_1^2v_2=v_1^2v_2$$

Comments

Und das ist jetzt die Richtungsableitung?

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Ja, in alle Richtungen bedeutet, dass du einen allgemeinen (am besten einheitsnormiert) Richtungsvektor \(v=(v_1,v_2)\) nimmst und explizit nachrechnest.

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Gehe ich dann genauso vor, wenn ich die partiellen Ableitungen von X und y an der Stelle (0,0) berechnen will (wie oben in der Frage bescheiben)?

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Die partielle Ableitung nach \(x\) ist die Richtungsableitung in Richtung \(v=(1,0)\). Die partielle Ableitung nach \(y\) ist die Richtungsableitung in Richtung \(v=(0,1)\). Und allgemein haben wir ja schon \(\partial _vf(0,0)=v_1^2v_2\) herausgefunden. Damit folgt, dass \(\Large \frac{∂f(0,0)}{∂x}=\frac{∂f(0,0)}{∂y}=0\).

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Ok, vielen Dank für die Hilfe!

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Gerne                        .