die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung
Es gibt zwei partielle Ableitungen erster Ordnung. Diese sind
- \(\frac{\partial f}{\partial x_1}\): du behandelst \(x_1\) wie die Variable, die du auch beim Ableiten aus der Schule kennst (d.h. du leitest nach \(x_1\) ab) und \(x_2\) behandelst du wie eine Konstante (die du aus der Schule im Zusammenhang mit Funktionenscharen kennst),
- \(\frac{\partial f}{\partial x_2}\): umgekehrt.
Es gibt vier partielle Ableitungen zweiter Ordnung. Diese sind
- \(\frac{\partial}{\partial x_1} \frac{\partial f}{\partial x_1}\): du leitest \(\frac{\partial f}{\partial x_1}\) nach \(x_1\) ab,
- \(\frac{\partial}{\partial x_1} \frac{\partial f}{\partial x_2}\): du leitest \(\frac{\partial f}{\partial x_2}\) nach \(x_1\) ab,
- \(\frac{\partial}{\partial x_2} \frac{\partial f}{\partial x_1}\): du leitest \(\frac{\partial f}{\partial x_2}\) nach \(x_1\) ab,
- \(\frac{\partial}{\partial x_2} \frac{\partial f}{\partial x_2}\): du leitest \(\frac{\partial f}{\partial x_2}\) nach \(x_2\) ab.
Beispiel. \(\frac{\partial f}{\partial x_2} = 3x_1 + 1, \frac{\partial}{\partial x_1} \frac{\partial f}{\partial x_2} = 3\).
den Gradienten
Das ist der Vektor \(\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\\frac{\partial f}{\partial x_2}\end{pmatrix}\).
die Richtungsableitung in Richtung
Das ist das Skalarprodukt aus Gradient und Richtung.
