Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung, Richtungsableitung

Question

Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung, den Gradienten und die Richtungsableitung in Richtung \( \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l}1 \\ -1\end{array}\right) \) der folgenden Funktionen \( \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) :
a) \( f(x)=2 x_{1}^{2}+3 x_{1} x_{2}+x_{2} \)

Wäre nett wenn mir das jemand ausführlich vormachen könnte :)

Answer 1

die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung

Es gibt zwei partielle Ableitungen erster Ordnung. Diese sind

• \(\frac{\partial f}{\partial x_1}\): du behandelst \(x_1\) wie die Variable, die du auch beim Ableiten aus der Schule kennst (d.h. du leitest nach \(x_1\) ab) und \(x_2\) behandelst du wie eine Konstante (die du aus der Schule im Zusammenhang mit Funktionenscharen kennst),
  
• \(\frac{\partial f}{\partial x_2}\): umgekehrt.

Es gibt vier partielle Ableitungen zweiter Ordnung. Diese sind

• \(\frac{\partial}{\partial x_1} \frac{\partial f}{\partial x_1}\): du leitest \(\frac{\partial f}{\partial x_1}\) nach \(x_1\) ab,
  
• \(\frac{\partial}{\partial x_1} \frac{\partial f}{\partial x_2}\): du leitest \(\frac{\partial f}{\partial x_2}\) nach \(x_1\) ab,
• \(\frac{\partial}{\partial x_2} \frac{\partial f}{\partial x_1}\): du leitest \(\frac{\partial f}{\partial x_2}\) nach \(x_1\) ab,
• \(\frac{\partial}{\partial x_2} \frac{\partial f}{\partial x_2}\): du leitest \(\frac{\partial f}{\partial x_2}\) nach \(x_2\) ab.

Beispiel. \(\frac{\partial f}{\partial x_2} = 3x_1 + 1, \frac{\partial}{\partial x_1} \frac{\partial f}{\partial x_2} = 3\).

den Gradienten

Das ist der Vektor \(\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\\frac{\partial f}{\partial x_2}\end{pmatrix}\).

die Richtungsableitung in Richtung

Das ist das Skalarprodukt aus Gradient und Richtung.

Comments

Ich habe den Gradienten berichtigt. Copy&Paste suckz.