Cauchy-Schwarz Ungleichung -> Winkel

Question

könnte mir vielleicht jemand folgenden Satz erklären bzw. beweisen? Das zugehörige Kapitel ist "Die reelle euklidische Ebene - Winkel":

Nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung liegt die reelle Zahl (<x,y>)/(IxI IyI) zwischen -1 und 1.

Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ist doch: I<x,y>I ≤ IxI * IyI

Wie komme ich denn jetzt erstens auf die obige Formel und zweitens darauf das die Zahl zwischen -1 und 1 liegt?

Danke Euch für Eure Hilfe :)

LG meghan16

Answer 1

I<x,y>I ≤ IxI * IyI wenn x oder y gleich 0 ist, 

kann man den Ausdruck (<x,y>)/(IxI IyI)  gar nicht 

bilden, das kann man also wohl ausschließen.

Ansonsten gilt 

I<x,y>I ≤ IxI * IyI

<=>  -  IxI * IyI    ≤  <x,y> ≤ IxI * IyI

und Division durch  IxI * IyI ergibt 

  -1  ≤  <x,y> / ( IxI * IyI)    ≤  1.

Comments

und warum kann ich die Betragsstriche im zweiten Schritt beim Skalarprodukt weglassen?

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wenn der Betrag von etwas ≤ a ist, dann liegt 

das "etwas" zwischen -a und a.

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Achja stimmt, ist schon wieder etwas länger her ^^ Vielen Dank :)