Cauchy-Schwarz-Ungleichung mit zusätzlicher Ungleichung

Question

ich soll die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

$$|(x,y)| \le ||x|| \cdot ||y|| \quad \quad (x,y \in \mathbb{R}^d)$$

beweisen und dabei

$$ab \le \frac{1}{2}(a^2+b^2) \quad \quad (a,b \in \mathbb{R})$$

verwenden. Hab es zuerst selbst probiert und dann Beweise im Internet angeguckt, allerdings hilft mir nichts wirklich weiter.

Answer 1

Erst Mal ist ja |a+b| ≤ |a|*|b| (Deiecksungleichung.

also hast du mit x= (x1,x2,...,xd) und y = (y1,y2,....yd) | (x,y) |

schon mal | (x,y) | ≤   |x1*y1| + |x2*y2| + .... + |xd*yd |

                                 = |x1|*|y1| + |x2|*|y2| + .... + |xd|*|yd |

 und das soll      ≤ ||x|| * ||y|| sein

falls x oder y der Nullvektor ist, gilt Gleichheit, brauchst also nix mehr zu beweisen

wenn beide ungleich 0 sind, kannst du durch die Ungleichung

|x1|*|y1| + |x2|*|y2| + .... + |xd|*|yd |     ≤ ||x|| * ||y||     durch die rechte Seite teilen

(ist ja positiv ! )  und hast dann

|x1|/||x||*|y1|/||y|| + |x2|/||x||*|y2|/||y|| + .... + |xd|/||x||*|yd |/||y||     ≤  1    #

und die einzelnen Summanden sind ja Produkte von der Form ab

z.B. mit a1=|x1|/||x||          und b1=|y1|/||y||  gibt das

a1b1  +  a2b2   +     .....................  adbd  

und mit deiner gegebenen Ungl. hast du dann

≤ 0,5(a₁^2 +b₁^2) +  o,5(a₂^2 +b₂^2)+ ..... o,5(a_d^2 +b_d^2)

= o,5 * (a₁^2 +a₂^2+.........+a_d^2 ) + o,5 * (b₁^2 +b₂^2+.........+b_d^2 ) 

die Klammern haben beide den Wert 1, denn sie sind ja die

Normen der jeweils durch seine Länge geteilten Vektoren x und y (s.o.)

also bleibt = 0,5*1 + 0,5*1 = 1       Das war zu beweisen ( siehe #)

Comments

Hi, ich nehme an in der ersten Zeile soll das "|a+b| ≤ |a|+|b|" heißen. Ansonsten ist mir alles klar, vielen Dank für deine Hilfe. :)

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ja genau, + statt * war vertippt.