Lineare Algebra: Beweisen, dass die Abbildung einer Menge nur für bestimmte Werte von c gleich einer anderen ist?

Question

ich habe dieses Jahr ein Studium in mathematischer Physik angefangen und komme mit allen Übungsblättern eigentlich gut zurecht. Allerdings gibt es eine Aufgabe, die nicht nur mich sondern meine komplett Lerngruppe beutelt. Ich würde mich freuen, wenn mir hier jemand ein paar Tipps geben könnte bzw. auch konkret erklären könnte, wie man hier vorgehen sollte.

Für c ∈ ℤ betrachten wir die (jeweils von c abhängige) Menge M_c = {(a,b) ∈ ℤ² : c = a + b} sowie die Abbildung f : ℤ² -> ℤ², (a,b) -> (a² + ab, b² + ab). Beweisen Sie:

a) Für alle c ∈ ℤ ist f(M_c) ⊆  M_c²       (Konnte ich beweisen)

b) Es gilt f(M_c) = M_c² genau dann, wenn c ∈ {-1,1}

Durch das gleiche Vorgehen wie in a) konnte man zeigen, dass die Menge für c ∈ {-1,1} definitiv gleich sind (einfach 1,-1 einsetzen)

Allerdings gilt es ja auch zu zeigen, dass das NUR für 1,-1 gilt, ich brauche also auch noch die umgekehrte Richtung... Kann mir jemand sagen wie ich hier sinnvoll vorgehen kann?

Leon

Answer 1

Du hast vergessen zu sagen, wie Du a) geloest hast. Es gibt viele Gruende, warum bereits erzielte Teilergebnisse in einer anstaendigen Anfrage ausgefuehrt sein sollten.

Ich jedenfalls habe \(f(M_c)=c\cdot M_c\) erhalten. (Das Produkt rechts aus Zahl und Menge ist elementweise zu verstehen und bezueglich der Elemente dann komponentenweise.)

Daraus folgt sowohl \(f(M_c)\subset M_{c^2}\), als auch \(f(M_c)=M_{c^2}\) gerade für \(c=\pm1\).