Sigma Algebra Abbildung

Question

Es seien Mengen \( X, Y \) mit \( \sigma \) -Ringen/Algebren \( \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X) \) und \( \mathcal{C} \subset \mathcal{P}(Y) \) gegeben. Sei \( f: X \rightarrow Y \) eine Abbildung.

Ich suche ein Gegenbeispiel zu:
 \( \{f(A) \mid A \in \mathcal{A}\} \) ist \( \sigma \) -Ring/Algebra auf \( \mathrm{Y} \).

Hat jemand eine Hilfestellung hierzu?

Vielen Dank!

Answer 1

Sei \(X=\{-1,0,1\}\) und \(\mathcal{A}=\{\varnothing, \{1\}, \{-1,0\},\{-1,0,1\}\}\). Es lässt sich bei endlich vielen Elementen leicht überprüfen, dass \(\mathcal{A}\) in der Tat eine \(\sigma\)-Algebra ist.

Setze \(f: X\to Y, \, f(x)=x^2\), dann ist: \(f(A)=\left\{\varnothing,\{1\},\{0,1\}\right\}\). Dies ist keine \(\sigma\)-Algebra, da das Komplement von \(\{1\}\), namentlich \(\{0\}\), nicht in der \(\sigma\)-Algebra ist. Die Komplementstabilität ist also verletzt.