Sigma Algebra Abbildung

Question

Es seien Mengen $X, Y$ mit $\sigma$ -Ringen/Algebren $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X)$ und $\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(Y)$ gegeben. Sei $f: X \rightarrow Y$ eine Abbildung.

Ich suche ein Gegenbeispiel zu:
 $\{f(A) \mid A \in \mathcal{A}\}$ ist $\sigma$ -Ring/Algebra auf $\mathrm{Y}$.

Hat jemand eine Hilfestellung hierzu?

Vielen Dank!

Answer 1

Sei $X=\{-1,0,1\}$ und $\mathcal{A}=\{\varnothing, \{1\}, \{-1,0\},\{-1,0,1\}\}$. Es lässt sich bei endlich vielen Elementen leicht überprüfen, dass $\mathcal{A}$ in der Tat eine $\sigma$-Algebra ist.

Setze $f: X\to Y, \, f(x)=x^2$, dann ist: $f(A)=\left\{\varnothing,\{1\},\{0,1\}\right\}$. Dies ist keine $\sigma$-Algebra, da das Komplement von $\{1\}$, namentlich $\{0\}$, nicht in der $\sigma$-Algebra ist. Die Komplementstabilität ist also verletzt.