Aufgabe:
Überprüfen Sie, ob die folgenden Mengensysteme \( \sigma \)-Algebren über \( \mathbb{R}^{N} \) sind.
a) \( \mathcal{A}_{1}:=\left\{A \subset \mathbb{R}^{N}: A\right. \) ist höchstens abzählbar \( \} \);
b) \( \mathcal{A}_{2}:=\left\{A \subset \mathbb{R}^{N}: A\right. \) ist endlich oder \( \mathbb{R}^{N} \backslash A \) ist endlich \( \} \);
c) \( \mathcal{A}_{3}:=\left\{A \subset \mathbb{R}^{N}: A\right. \) ist höchstens abzählbar oder \( \mathbb{R}^{N} \backslash A \) ist höchstens abzählbar \( \} \);
d) \( \mathcal{A}_{4}:=\left\{A \subset \mathbb{R}^{N}: A \subset B\right. \) oder \( \left.\left(\mathbb{R}^{N} \backslash A\right) \subset B\right\} \) mit einem fest vorgegebenen \( B \subset \mathbb{R}^{N} \).
Eine \( \sigma \)-Algebra über \( \mathbb{R}^{N} \) ist ein Mengensystem \( \mathcal{A} \subset \mathcal{P}\left(\mathbb{R}^{N}\right) \) mit den folgenden Eigenschaften:
- \( \emptyset \in \mathcal{A} \)
- \( A \in \mathcal{A} \quad \Rightarrow \quad \mathbb{R}^{N} \backslash A \in \mathcal{A} \)
- \( A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathcal{A} \quad \Rightarrow \quad \bigcup_{i-1}^{\infty} A_{i} \in \mathcal{A} \)
Problem/Ansatz:
Ich bin mir wieder mal nicht so sicher, wie ich diese Aufgabe lösen soll - hier einmal meine Idee:
a) Da für nicht abzählbares \( ℝ^{n} \) schon \( ℝ^{n} \) ∉A1, kann \( ℝ^{n} \) nicht für beliebige Mengen \( ℝ^{n} \) ≠0 eine σ-Algebra sein (In der Menge aller nicht-leeren Mengen sind nicht-abzählbare Mengen enthalten, also kann \( ℝ^{n} \) nicht für eine beliebige nicht-leere Menge eine σ-Algebra sein.
b) Ist keine σ-Algebra, da die Mengen An={n} mit n∈ℕ endlich sind und damit in \( ℝ^{n} \) liegen, aber es gilt ∪An=ℕ und weder ℕ noch ℝ - ℕ sind endlich.
c) ich hätte gezeigt, dass es sich um eine σ-Algebra handelt (die frei Bedingungen nachweisen).
d) Hier komme ich nicht weiter.
Sind meine Überlegungen zu a), b) und c) richtig - Wie zeige ich jetzt d), ob es eine σ-Algebra ist oder nicht?
Danke für Hilfe im Voraus
