Sigma-Algebra bestimmen und überprüfen

Question

Eine Mengenalgebra A ⊂ P(Ω) heißt σ-Algebra, falls fur jede Folge (A_j )_j∈N0
in A auch für die Vereinigungen von j=0 bis unendlich von der Folge A_j ∈ A gilt. Es wurde gezeigt,

dass es zu jedem M ⊂ P(Ω) eine σ-Algebra gibt, die M enthält und die in

jeder σ-Algebra enthalten ist, die M enthält.

a) Bestimme für M = {{1},{2},...,{n}} explizit diese Sigma-Algebra auf positive ganze Zahlen

und überprüfe, ob die Vereinigungen von j=0 bis unendlich mit der Folge A_j eine Sigma-Algebra sind.

Könnte mir jemand bitte helfen, ich weiß nicht, wie ich das machen kann.

Comments

Deine Definition von Sigma Algebra ist unvollständig. Welche Bedingung fehlt noch?

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Gar nichts, das ist die ganze Aufgabe.

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Entschuldigung, ich hatte die Bedeutung von "Mengenalgebra" überlesen.

Answer 1

Es sei also \(M=\{\{1\}, \ldots \{n\}\}\), \(X:=\{1, \ldots, n\} \sube \mathbb{N}\). Komplemente bezeichen ich mit C.

Dann ist die gesuchte Sigma-Algebra:

$$S:=\{A \sube \mathbb{N} \mid A \sube X\} \cup \{A \cup C(X)\mid A \sube X\}$$

Diese Menge ist abgeschlossen gegenüber Komplementbildung:

$$A \sube X \Rightarrow C(A)=C(X) \cup X \setminus A \in S$$

$$C[A \cup C(X)] \sube X \Rightarrow  C[A \cup C(X)] \in S$$

Sie nunn \((A_i)_{i \in I}\) in S. Wenn alle \(A_i\) in X liegen, dann auch die Vereinigung. Andernfalls gibt es 2 Teilmengen:

$$I_1: \quad A_i \sube X \text{  für }i \in I_1\qquad I_2: \quad A_i=B_i \cup C(X), B_i \sube X \text{  für } i \in I_2$$

Damit

$$\bigcup_{i \in I}A_i=\bigcup_{i \in I_1}A_i \cup  \bigcup_{i \in I_2}(B_i \cup C(X))=\left[ \bigcup_{i \in I_1}A_i \cup \bigcup_{i \in I_2} B_i \right] \cup C(X) \in S$$

Also ist S auch abgeschlossen gegenüber Verinigungsbildung.

Comments

Tausend Dank, sehr freundlich.