Menge aller Zahlenpaare (x,y) ∈ ℝ² an, für die die Gleichung y = 3^{√(x² + 1)} sinnvoll definiert ist

Question

Ich stehe vor einer Aufgabe und weiss nicht wie ich hierbei anfangen soll.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

a) Geben Sie die Menge aller Zahlenpaare \( (x,y) \in \mathbb{R^2} \), für die die Gleichung \( y = {3}^{\sqrt{x^2 + 1}} \) sinnvoll definiert ist, an! Lösen Sie für jede sinnvolle Vorgabe von y (falls möglich) nach x auf!

Skizzieren Sie anschließend die Menge aller (x,y) für die die Gleichung erfüllt ist.

b) Geben Sie das größtmögliche Definitionsintervall \( \mathbb{D}\subseteq \mathbb{R} \) mit \( 1\in \mathbb{D} \) und eine geeignete Zielmenge \( \mathbb{W} \subseteq \mathbb{R} \) an, sodass \( f(x):= y = {3}^{\sqrt{x^2 + 1}} (x\in\mathbb{D}) \) eine wohldefinierte, bijektive Abbildung beschreibt. Wie lautet die Funktionsvorschrift für \( {f}^{-1}: \mathbb{W}\to\mathbb{D} \)?

Comments

ich stehe vor einer Aufgabe und weiss nicht wie ich hierbei anfangen soll.

Man fängt bei a), Teil 1, an und überlegt sich, für welche reellen Zahlen x und y aus der Aussageform eine Aussage wird. Eine Aussage in diesem Zusammenhang ist eine Gleichung, der ein Wahrheitsgehalt zugeordnet werden kann.

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Bei Aufgabe a) muss ich ja zwei Dinge machen.

EInmal die Menge aller Zahlenpaare
(x,y)∈R2

, für die die Gleichung

y=3x2+1√
sinnvoll definiert ist und einmal die Gleichung. Deswegen fällt es mir hier schwer die Aufgabe zu machen. Wie soll ich denn die Menge aller Zahlenpaare bestimmen für die die Gleichung stimmt ?

VG :)

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Das habe ich doch beschrieben. Also noch mal im Detail: Für welche Zahlen ist die linke Seite definiert? Für welche Zahlen die rechte?

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Ich weiss ja nicht wie ich dabei vorgehen soll.

Irgendwie reden wir aneinander vorbei.

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Auch wenn du es weiter oben erklärt hast kann ich mir das nicht vorstellen, wie ich dabei vorgehen soll. Der Anfang fällt mir irgendwie schwer

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Na, welche reellen Zahlen kann man in den Term \(y\) einsetzen?

Dazu benötigt man kein "Vorgehen", das weiß man und schreibt es hin.

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Dann sage ich es mal so, wie müsste man es denn mathematisch korrekt hinschreiben.

Also mir fällt es nicht so einfach ein, vielleicht für dich.
Für y würde ich sagen alle reelle Zahlen und für x alle positiven Reellen Zahlen mit der 0 also $$y\in \mathbb{R}, x \in [0|\infty)$$

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Richtig, für y kannst du alle reellen Zahlen einsetzen, für x allerdings auch. Die Gleichung ist also für alle Zahlenpaare aus \(\mathbb{R}^2\) definiert.

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warum R für x, da ist doch der Exponent eine Wurzel.

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Der Exponentialterm ist für alle reellen Exponenten definiert, würde also keine Einschränkungen liefern. Die Quadratwurzel könnte Einschränkungen erforderlich machen. Überlege, warum das hier nicht so ist.

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Da der Definitionsbereich der Wurzelfunktion in dem Definintionsbereich der exp Funktion enthalten ist, ist somit keine Einschränkung des Definitionsbereiches der exp- Funktion erforderlich. Wäre jetzt beispielsweise der Fall andersherum, sprich Wurzel und dann die exponential funktion in der Wurzel, müsste dann nicht eine restriktion folgen ? Also der Definitionsbereich der exp Funktion muss dann auch $$[0|\infty)$$ sein oder?

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Nein, die Quadratwurzel ist für negative Radikanden nicht definiert. Da der Radikand hier aber midestens 1 ist, kann er nicht negativ werden.

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Wie würde man dann das größtmögliche Definitionsintervall mit $$1 \in D$$ bestimmen damit die Funktionsvorschrift bijektiv wird.

Ich habe jetzt mal folgendes aufgeschrieben:

für $$x \in [0|1)$$ ist die Funktion surjektiv, sowie injektiv und ist in dem Bereich umkehrbar, sprich Bijektiv.

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Bestimme zur Quadratfunktion \(y=x^2\) dasjenige maximale Monotonieintervall, das die 1 enthält. Für dieses Intervall sind \(y=x^2+1\) und \(y=\sqrt{x^2+1}\) und \(y=3^{\sqrt{x^2+1}}\) dann ebenfalls streng monoton, was die Bijektivität und damit auch die Umkehrbarkeit von \(f\) sicherstellt.

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Ja aber streng monoton auch nur im Intervall für x von [0|unendlich) und auch nicht auf ganz R. Ich muss ja hier auch das Intervall angeben. Da für x von [0|unendlich) auch die 1 drine ist, kann ich doch direkt sagen x von [0|unendlich) ist die Funktion streng monoton steigend oder. Jetzt fehlt mir nur noch der Wertebereich.

VG :)

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Ja, \(f\) ist streng monoton steigend auf dem Intervall \(\left[0\vert\infty\right)\). Damit lässt sich nun leicht auf den Wertebereich schließen.

Answer 1

a)

lny = √(x^2+1)*3

(lny/3)^2 -1 = x^2

x= ±√((lny/3)^2-1)

Comments

Also soll ich bei Aufgabenteil a) nur nach x auflösen ?

Ist dann x die Menge aller geordneten Zahlenpaare für die die Gleichung stimmt ?