partielle Ableitungen mit Definitionsbereich. f(x,y):= √(1-x^2) + √((1-y)y)

Question

Aufgaben:

So mein Rechenweg:

$$ f ^ { \prime } y ( x , y ) = \frac { 1 - 2 y } { 2 \sqrt { 1 - y } y } \\ f ^ { \prime } x ( x , y ) = \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } \\ D _ { f } = \left\{ ( x , y ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } y ^ { 2 } \leq y \right\} $$

$$ f ^ { \prime } + ( x , y ) = x \\ f ^ { \prime } y ( x , y ) = ? $$

$$ D _ { f } : \{ ( x , y ) \in \mathbb { R } : y > 0 \} $$

Das ist zu i) Ich habe b als erstes gemacht nicht wundern... Sieht das so richtig aus? Bin mir da noch relativ unsicher... Und ist der Definitionsbereich auch richtig? Aber ich habe noch eine Frage bezüglich der Aufgabe "Fertigen Sie zudem eine Skizze der Menge Df an." Soll ich hier den Definitionsbereich zeichnen? Wie geht das wenn ich fragen darf? ^^

Zu ii) Auch hier mit b begonnen. Bei der f´y bin ich mir auch nicht so sicher... Könnte es x/y sein? Und auch hier die Frage mit dem Df zeichnen

Und insgesamt: Ich verstehe nicht was ich bei c) machen soll. Soll ich einfach die 2 Ableitung bilden einmal von x und x und dann von y und x etc? Weil ich verstehe nicht wo dann der unterschied zu y,x und x,y sein soll?

Comments

Nun eine erste Frage: Wie kommt das y neben die Wurzel im ersten Nenner deiner Resultate? 

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Ich hab mich da an meinen Mitschriften ausn Unterricht gehalten. Ich hab die meisten Anfangsschritte aus dem unterricht und sollten es beenden. Dann den ersten Bereich als Bruch geschrieben und dann wurde es bis zum Ende hin nicht mehr angerührt. Also stand bei uns dann 1/(2√(1-y)y). Den Nenner haben wir so nicht weiter angerührt und nur den zweiten Bereich dann in den Zähler geholt

Kann natürlich auch falsch sein ^^ ich dacht nur, dass es im Unterricht wohl richtig sein wird ^^ 

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Also zu i) nach x kommt bei mir ein Minus vor die Wurzel:

Abl: 0,5*(-2x) *(1-x^2)^{-0,5} 

Und bei der Ableitung nach y kommt bei mir auch das gleiche raus:

Ableitung: 0,5*((1-y)*y)^{-0,5}*(1-2y)

-> (1-2y)/(2*√((1-y)y))

(das y bleibt oben)

Answer 1

Zu i) Wie Lu schon gesagt hat, das y muss unter die Wurzel. Sonst sind die Ableitungen korrekt. Beim Definitionsbereich braucht es noch eine Bedingung für x. Denn auch in der Wurzel √(1-x^2) darf kein negativer Wert entstehen. D.h 1-x^2>0, d.h. 1>x^2

Zu ii) Ableitungen korrekt, auch x/y, Definitionsbereich ebenfalls.

Nun zum Zeichnen der Definitionbereiche, hier zeichnest du nicht Kurven, sondern du malst Flächen aus. z.B. zu ii) hast du die Bedingung y>0, das heisst du kannst im Koordinatensystem alles über der x-Achse anmalen, Achtung, die x-Achse selber darfst du nicht, denn dort gilt y=0, aber unsere Bedingung lautet y>0.

zu c) du arbeitest von innen nach aussen, d.h. z.B. beim zweiten Beispiel leitest du zuerst nach x ab und dann noch nach y ab.

Fragen beantworte ich gerne.

Comments

Oh cool danke! :) Hab jetzt alles gecheckt wie du es erklärt hast :D 

Zu c) werd ich mich aber erst morgen ransetzen aber du hast mir sehr geholfen, danke! 

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Nein, so wie in der Aufgabe 2√((1-y)*y)

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Ja hatte es schon bearbeitet, weil ich es selber gecheckt habe :D Danke :) 

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Bei i) und der 1. Ableitung nach x muss doch noch ein Minus vor die Wurzel oder? ;)