Niveaulinien berechnen (partielle Ableitung?)

Question

Aufgabe:

a) Bestimme in Abhängigkeit von \(r \in \mathbb{R}\) die Niveaulinien von f (die Kurven, an denen \(f(x_{1}, x_{2}) = c \) gilt):

\(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x_{1}, x_{2}) = 9x_{1}^2 - 4x_{2}^2 - 18x_{1} + 16x_{2} - 7 \)

b) Von welcher Art (z.B. Ellipse, Gerade, Hyperbel, etc.) sind die Niveaulinien der Funktion?

c) Ist die Funktion beschränkt?

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen wie man die Neubaulinen berechnet? Weil ich verstehe das irgendwie nicht, also ich was ich weiß ist das man \(f(x_{1}, x_{2})\) partiell ableiten sollte. Das kriege ich noch hin, aber ich verstehe es nicht mit den Niveaulinien.

Comments

wie man die Neubaulinen berechnet?

Alles neu, macht der Mai. Aber wir haben schon Juni.

Das sind die Niveaulinien:

Ich sehe Hyperbeln.

Bei c = 0 ist der Sattelpunkt (1│2│0).

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Danke,

Ich meinte damit Niveaulinien, es war auto korrektur ..lol

Aber wie genau berechnet man es? Weil in der Uni kam es nicht so stark rüber wie man es genau Mathematisch berechnet.

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Ich habe nicht verstanden, was r sein soll. Es kommt in der Funktion nicht vor.

... wie man es genau Mathematisch berechnet.

Kann man unmathematisch berechnen?

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Ahhh es sollte ein c in R sein... Sorry

Answer 1

die Kurven, an denen \(f(x_1,x_2)=c\) gilt

\(\begin{aligned} &&f(x_{1},x_{2}) & =c\\ &\iff&9x_{1}^{2}-4x_{2}^{2}-18x_{1}+16x_{2}-7 & =c\\ &\iff&9x_{1}^{2}-18x_{1}+9-4x_{2}^{2}+16x_{2}-16 & =c\\ &\iff&9\left(x_{1}^{2}-2x_{1}+1\right)-4\left(x_{2}^{2}-4x_{2}+4\right) & =c\\ &\iff&9\left(x_1-1\right)^{2}-4\left(x_{2}-2\right)^{2} & =c \end{aligned}\)

Von welcher Art (z.B. Ellipse, Gerade, Hyperbel, etc.) sind die Niveaulinien

An der Form der letzten Zeile solltest du erkennen, dass es sich für \(c\neq 0\) um Hyperbeln handelt. Falls nicht, dann schau dir noch mal Gleichungen der Kegelschnitte an.