Welche der folgenden Abbildungen F1, F2, F3 sind linear?

Question

Hallo ihr Lieben,

ich brauche dringend eure Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Welche der folgenden Abbildungen F₁, F₂, F₃ sind linear?

F₁ : K[X] → K[X] mit F1(f) = f´ d.h. a₀+ a₁X +…+ a_nXⁿ ↦a₁ + 2a₂X +…+ na_nX^n-1

F₂: Abb(ℝ,ℝ)→Abb(ℝ,ℝ) mit f ↦ g, g(x)= αf(βx) für α,β∈ℝ\{0}

F₃: ℝ² → ℝ³ mit (x,y) ↦ (x,3y,x + y + 1)

Es wäre sehr lieb von euch, dankeee :)))

Comments

F₃ bildet (0,0) ∈ ℝ² nicht auf (0,0,0) ∈ ℝ³ ab und kann daher nicht linear sein.

Answer 1

Zu \(F_1\): Prüfe ob \(F_1(\gamma a+b) = \gamma F_1(a)+F_1(b)\) für alle \(\gamma\in K\) und alle \(a,b\in K[X]\) ist.

Zu \(F_2\): Prüfe ob \(F_2(\gamma a+b) = \gamma F_2(a)+F_2(b)\) für alle \(\gamma\in \mathbb{R}\) und alle \(a,b\in\operatorname{Abb}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) ist.

Zu \(F_3\): Prüfe ob \(F_3(\gamma a+b) = \gamma F_3(a)+F_3(b)\) für alle \(\gamma\in \mathbb{R}\) und alle \(a,b\in \mathbb{R}^2\) ist.

Beispiel. Es ist

        \(\begin{aligned}F_3(1\cdot (0,\ 0) + (0,\ 0)) &= F_3(0,\ 0)\\& = (0,\   3\cdot 0,\ 0+0+1) \\&= (0,\ 0,\ 1)\end{aligned}\)

aber

      \(\begin{aligned}1\cdot F_3(0,\ 0)+F_3(0,\ 0) &= 1\cdot (0,\ 0,\ 1) + (0,\ 0,\ 1)\\& = (0,\ 0,\ 2)\\&\neq F_3(1\cdot (0,\ 0) + (0,\ 0))\end{aligned}\)

also ist \(F_3\) nicht linear.

Tipp. \(F_1\) ist linear. Seien \(\gamma\in K\), \(p=\sum_{i=0}^n p_iX^i\) und \(q=\sum_{i=0}^n q_iX^i\). Forme damit den Term \(F_1(\gamma p+q)\) zu \(\gamma F_1(p)+F_1(q)\) um.