Wie berechne ich die Ableitungen von f1(x) = x^x, f2(x)=(x^x)^x, f3(x)= x^{x^x}?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Ableitungen der drei Funktionen \( f_{i}:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \), \( i=1,2,3 \), definiert durch

\( f_{1}(x)=x^{x}, \quad f_{2}(x)=\left(x^{x}\right)^{x}, \quad f_{3}(x)=x^{\left(x^{x}\right)} \)

wobei wir \( x^{a} \) durch \( x^{a}:=\exp (a \log x) \) definieren.

Answer 1

Hi,

 

f₁(x) = x^x = e^{xlnx}

f₁'(x) = (xln(x))'e^{xlnx} = ln(x)e^{xlnx} + e^{xlnx} = e^{xlnx}*(ln(x)+1) = x^x*(ln(x)+1)

 

f₂(x) = (x^x)^x = e^{xlnx^x}

f₂'(x) = (xln(x^x))'*e^{xlnx^x} = ln(x^x)*e^{xlnx^x} + x(ln(x)+1)*e^{xlnx^x} = e^{xlnx^x}*(ln(x^x)+xln(x)+x)

= (x^x)^x*(ln(x^x)+xln(x)+x)

 

f₃(x) = x^{x^x} = e^{x^xlnx}

Das geht nach dem gleichem Schema. Bin jetzt aber zu faul alles nochmals aufzuschreiben. Sollte so aussehen:

f₃'(x) = x^{x^x} (x^{-1+x}+x^x*ln(x)(1+ln(x)))

 

Grüße