Zeigen Sie, dass X0 = {f1, f2, f3} linear unabhängig ist und ergänzen Sie diese Menge zu einer Basis X von Pol4(R).

Question

Sei Pol \( _{4}(\mathbb{R})=\left\{f: x \mapsto \alpha_{0}+\alpha_{1} x+\alpha_{2} x^{2}+\alpha_{3} x^{3}+\alpha_{4} x^{4} \mid \alpha_{0} \ldots, \alpha_{4} \in \mathbb{R}\right\} \) der Vektorraum der polynomialen Abbildungen vom Grad kleiner oder gleich \( 4 . \) Sei \( f_{1}(x)=2, f_{2}(x)=x+2 x^{3}, f_{3}(x)=x+x^{4} . \)

(a) Zeigen Sie, dass \( X^{\prime}=\left\{f_{1}, f_{2}, f_{3}\right\} \) linear unabhängig ist und ergänzen Sie diese Menge zu einer Basis \( X \) von \( \operatorname{Pol}_{4}(\mathbb{R}) \).
(b) Zeigen Sie, dass \( Y=\left(1,1+x, x+x^{2}, x^{2}+x^{3}, x^{3}+x^{4}\right) \) eine Basis von \( \mathrm{Pol}_{4}(\mathbb{R}) \) ist und bestimmen Sie die Übergangsmatrix \( P_{Y}^{X} \) von \( X \) nach \( Y \).

Answer 1

Hallo

linear unabhängig wie immer af1+bf2+cf3=0 nur für a=b=c=0

wenn sie lin. unabhängig sind fehlen 2 Basisvektoren,  sicher fehlt x^2,  was fehlt noch? das gibt den 5 ten Basisvektor,dann hast du schon deine Ergänzung (eindeutig ist die Ergänzung nicht)

Basis ist gezeigt, wenn man 5 Lin unabhängige hat,

Die Abbildung findest du dann sicher.

lul