Überprüfen Sie ob die Abbildungen ℝ-linear. ist.

Question

Aufgabe:

Hallo Meine Lieben,

Ich soll überprüfen ob die angegebenen Abbildungen a) bis e) ℝ-Linear. sind.

a) Die Abbildung \( f_{1}: \mathbb{R} \) mit \( x \mapsto x^{2} \) ist \( \mathbb{R} \) -linear.
b) Die Abbildung \( f_{2}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) mit \( x+i y \mapsto x \) ist C-linear.
c) Die Abbildung \( f_{3}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) mit \( x+i y \mapsto-y+i x \) ist C-linear.
d) Die Abbildung \( N: \mathrm{Abb}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f \mapsto f(0) \) ist \( \mathbb{R} \) -linear.
e) Die Abbildung \( s: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
$$ s(x, y):=\sum \limits_{j=1}^{n} x_{i} y_{i} $$
ist \( \mathbb{R} \) -linear.
f) Welche der fünf Abbildungen ist ein Mono-, Epi-, Iso-, Endo- oder Automorphismus über dem jeweils angegebenen Körper? Begründen Sie.

Was ich weiß:

Für eine R- Lineare Abbildungen sind folgende Eigenschaften zu Beweisen

A) Additive:

f(u)+f(v)=f(u+v)

B) Homogentiät

f( a• v) = f(v) •a

( Zudem muss die Abbildung HOM. Sein)

Problem:

Bei a) habe ich ein x^2 , muss ich dann ein u) konstruieren?

Z.b

V= x^2

U= y^2

f(u)+f(v)= f(y^2)+f(x^2)= ....

B/C)wir befinden uns jetzt im Komplexen Körper ( wenn Abbildung C-linear, dann auch R-Linear)

Würde es da auch reichen wenn ich ein neues U ) konstruiere??

Oder ist

U= Realteil

v= Imaginärteil

D) da hier f(0) steht, reicht es dann aus wenn ich für u=0 Und v= 0 setzte? (nullvektor )

E) da hab ich überhaupt keine Idee :(

f)

Ich weiß was die Eigenschaften bedeuten und welche Voraussetzungen man haben muss.

Problem:

Ich weiß nicht, wie ich mit der Surjektivität, Injektivität und Bijektivität umgehen soll. Hat vielleicht jmd. ein Tipp, wie ich es an den Abbildungen erkennen kann?

Definition der drei sind mir Bekannt, aber gerne würde ich nun weiter kommen wollen und diese direkt aus der Abbildung lesen ( Ich würde es gerne Begründen wollen und nicht mathematisch zeigen)

Für alle die mir helfen wollen:

Ich möchte an den Aufgaben zusammen mit euch arbeiten um ein möglichst gutes Verständnis für die Mathematik zu entwickeln.

Verstehen und Anwenden ;)

Ich Danke allen im Voraus, die mir dabei Helfen.

Answer 1

a) Du brauchst doch nur ein paar Werte zu probiere, etwa

f(1+2) =(1+2)^2 = 3^2 = 9  aber

f(1) + f(2) = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 ≠ 9, also nicht R-linear.

b) und wenn man glaubt es stimmt, dann versuchen zu beweisen,etwa

f2((x+iy)+(a+ib))  = f2((x+a)+(iy+ib))  = f2((x+a)+i(y+b)) = x+a

und bei f2(x+iy)+f2(a+ib) gibt es auch x+a.

Dann Homogenität versuchen etc.

Comments

Kann man das nicht verallgemeinern? ohne das man genaue Werte schreibt? Oder würde dies als Beweis ausreichen? ( Werte einsetzen )

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Hab jetzt das raus :

A) f(x+x)= f(2x) = 4x^2

f(x)+f(x)=2f(x)=2x^2 für x≠0

—> f(x+x)≠ f(x)+x

—> nicht linear

B)

Additiv:

f((x+iy)+(a+ib))  = f((x+a)+(iy+ib))  = f((x+a)+i(y+b)) = x+a

f(x+iy)+f(a+ib)= (x+iy)+(a+ib)=( x+a)+(iy+ib)  = (x+a)+i(y+b) = x+a

—> linear

Homogenität:

f(x+iy)•a= x+iy•a UND JETZT KOMM ICH IRGENDWIE GARNICHT MEHR VORAN :(

Ein Paar Tipps?

C)

f(x+iy) + f(a+ib) = (-y+ix) + (-b+ia) =

-y+ix -b+ia= -y-b+ix+ia = (-y-b)+i(x+a) =

-y-b

f((x+iy)+(a+ib))= f((x+iy+a+ib))= wann muss ich denn die Def einsetzten? Irgendwie hab ich das Gefühl bin auf dem falschen Weg

D)

Additivität:

f(x)+f(x) = f(0)+ f(0) = 0+0 = 0

homogenität:

F(x+x)= f(0+0)= f(0)=0

—> f ist linear

E) immer noch keine Idee

F)

Für a) —> keine Linearität

Für b) R- Isomorp

 C) /

D)  Endmorphismus

E) /

Habt ihr vielleicht noch Tipps??

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Beweisen musst du die Dinge immer allgemein.

Zum Widerlegen reicht ein konkretes Gegenbeispiel.