Welche Abbildungen sind linear, injektiv, surjektiv, bijektiv? b) (x,y) --> (2y/(x^3), x^3 - x)

Question

Welche der folgen abbildungen R^2 --> R^2 sind linear? Geben sie auch an ob sie injektiv surjektiv bijektiv ist.

a) $$ \left( x1\\ x2 \right) $$ --> $$ \left( x1+x2\\ x1-x2 \right) $$

b) $$ \left( x1\\ x2 \right) $$ --> ( 2x2    x1^3-x1)     x1nhoch 3 kommt unter 2x2

wie kann ich denn hier zeigen ob die abbildungen linear sind?

danke im voraus

Comments

$$ \begin{pmatrix}  a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} $$

so wird das vielleicht auch lesbar was du da hinwurschtelst

https://www.matheretter.de/rechner/latex

Answer 1

Probierst du einfach ob das Bild von (x1,x2) + (y1,y2)

das gleiche ist wie die Summe der Bilder 

und das Bild von a (x1,x2) das gleiche wie

a * Bild von (x1,x2)

Comments

hmmm alsooo ich hab nur bahnhof verstanden :)

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Dann müssen wir das wohl mal was genauer machen:

statt übereinander, schreibe ich dazu die Elemente von IR^2 als Paare mit nebeneinander

stehenden Komponenten.

dann ist die erste Abb

f :   IR^2 --- IR^2  mit ( x1,x2 ) ---> (x1+x2 , x1 - x2 )

also f( x1,x2 )  = (x1+x2 , x1 - x2 )

mach am besten mal ein paar Beispiele

f( 3,4) = ( 7,-1)    f( 5 , 1) = ( 6 , 4 ) und dann f( 8,5) = (13, 3 )

wenn du dir das genauer ansiehst merkst du:

(3,4)+(5,1)=(8,5)  und (7,-1)+(6,4) = ( 13,3)

Die Summe von (3,4) und (5,1) ist also (8,5)

und das Bild der Summe , also das was dem (8,5) durch

die Abbildung zugeordnet wird ist (13,3) und das ist das gleiche

wie die Summe der einzelnen Bilder also (7,-1)+(6,4).

Damit ist gezeigt: Bei den beiden zufällig ausgewählten

Paaren (3,4) und (5,1) ist es so:

Der Summe der Paare wird die Summe der Bilder zugeordnet.

Das muss bei einer linearen Abb. aber ganz allgemein für alle denkbaren

Paare gelten, also muss man zeigen

f( (x1,x2)+(y1,y2) )    =    f(x1,x2) + f ( y1,y2) 

Probier es mal, sonst frag ruhig noch mal nach.

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dann lautetb ja meine lösung zu aufgabe 1:

f(x1+y1,x2+y2)= (x1+y1+x2+y2,x1+y1-x2+y2)

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Vielleicht noch davor   f( (x1,x2) +(y1,y2) ) damit deutlich wird, dass das der Ansatz ist:

f( (x1,x2) +(y1,y2))= f(x1+y1,x2+y2)= (x1+y1+x2+y2,x1+y1-(x2+y2))  Klammer !

und das musst du jetzt vergleichen mit

f(x1,x2) + f(y1,y2)

wenn beides gleich ist, dann ist die Abb. linear.