Dann müssen wir das wohl mal was genauer machen:
statt übereinander, schreibe ich dazu die Elemente von IR^2 als Paare mit nebeneinander
stehenden Komponenten.
dann ist die erste Abb
f : IR^2 --- IR^2 mit ( x1,x2 ) ---> (x1+x2 , x1 - x2 )
also f( x1,x2 ) = (x1+x2 , x1 - x2 )
mach am besten mal ein paar Beispiele
f( 3,4) = ( 7,-1) f( 5 , 1) = ( 6 , 4 ) und dann f( 8,5) = (13, 3 )
wenn du dir das genauer ansiehst merkst du:
(3,4)+(5,1)=(8,5) und (7,-1)+(6,4) = ( 13,3)
Die Summe von (3,4) und (5,1) ist also (8,5)
und das Bild der Summe , also das was dem (8,5) durch
die Abbildung zugeordnet wird ist (13,3) und das ist das gleiche
wie die Summe der einzelnen Bilder also (7,-1)+(6,4).
Damit ist gezeigt: Bei den beiden zufällig ausgewählten
Paaren (3,4) und (5,1) ist es so:
Der Summe der Paare wird die Summe der Bilder zugeordnet.
Das muss bei einer linearen Abb. aber ganz allgemein für alle denkbaren
Paare gelten, also muss man zeigen
f( (x1,x2)+(y1,y2) ) = f(x1,x2) + f ( y1,y2)
Probier es mal, sonst frag ruhig noch mal nach.