lineare Unabhängigkeit prüfen? Für welche k sind v1=(k, 1) und v2=(1-k, 1) linear unabhängig?

Question

Frage : Für welche zahlen λ ∈ℝ sind die vektoren v1 = ( λ   1  ) (eins steht unter lamda) , v2= (1-λ    1) (1 steht unter 1-lamda) in R^2 linear unabhängig?

wie prüfe ich auf lineare unabhängigkeit?? ich weiß, dass man v1 und v2 mit 0 gleichsetuten muss aber wie fasst man das zusammen ??

Answer 1

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stelle bitte die Frage klarer ...

"Frage : Für welche zahlen λ ∈ℝ

sind die vektoren v1 = ( λ   1  ) (eins steht unter lamda) ,

v2= (1-λ    1) (1 steht unter 1-lamda)

in R² linear unabhängig?"

hat zB v1 die erste Komponente λ und die zweite  Komponente  1   ?
usw..

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Answer 2

Hi,

meinst du \( v_1 = \begin{pmatrix} \lambda \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( v_2 = \begin{pmatrix} 1 - \lambda \\ 1\end{pmatrix} \) ?

Da beide Vektoren die gleiche 2. Komponente haben suchst du alle \( \lambda \in \mathbb{R} \) für die gilt:

$$ \lambda \neq 1 - \lambda $$

Kleiner Tipp: Schau zuerst wann die Gleichung gilt und folgere damit die Lösung.

Gruß

Comments

und wie schaue ich wann die gleichung gilt??

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Wie wäre es mit Gleichung lösen?

Answer 3

Für welche zahlen λ ∈ℝ sind die vektoren v1 = ( λ   1  ) (eins steht unter lamda) , v2= (1-λ    1) (1 steht unter 1-lamda) in R² linear unabhängig?

Bei lin. Abh. müsste

a * v₁ = v₂ gelten.

1. Zeile a*k = 1-k

2. Zeile a*1 = 1  ==> a = 1

nun a in die 1. Zeile einsetzen

k = 1-k    | + k

2k = 1

k = 1/2

==> v1 und v2 sind linear abhängig, für k= 1/2

und linear unabhängig für k ≠ 1/2.

Anmerkung: Von Hand statt k schöne Lambda abmalen.