Wenn (v1, v2) linear unabhängig sind, sind auch (v1 + v2, v2) linear unabhängig

Question

die Aufgabe lautet zu zeigen (oder zu widerlegen), dass wenn (v₁, v₂) linear unabhängig sind, auch (v₁ + v₂, v₂) linear unabhängig sind.
Leider habe ich nichtmal einen Ansatz. wäre also schon über alle Anätze dankbar :)

Danke

Answer 1

(v₁, v₂) linear unabhängig heißt doch, falls

a*v₁+b* v₂ = 0-Vektor, dann a=b=0 .

machst du das gleiche mit  (v₁ + v₂, v₂)

also a* (v₁ + v₂) + b*v₂ = 0-Vektor , dann

a* v₁ +    ( a + b) *v₂ = 0-Vektor

und wegen der Lin. Unabhängigkeit von v1 und v2 also

a= 0 und  a+b = 0

also auch a=b=0.   q.e.d.

Comments

a* v₁ +    ( a + b) *v₂ = 0-Vektor 

Und wie komme ich darauf dass hier der 0-Vektor nur rauskommt wenn auch a=b=0 gilt? Es könnte sich doch auch irgendeine andere, nicht-triviale Lösung ergeben haben? Man addiert ja schließlich a*v_{2 ...}

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a* v₁ +    ( a + b) *v₂ = 0-Vektor 

Und wie komme ich darauf dass hier der 0-Vektor nur rauskommt wenn auch a=b=0 gilt?

Hier geht die Voraussetzung ein, dass v1,v2 lin. unabh. sind. Für diese

beiden gibt es dann eben nur die triviale Lösung in der Form:

Die Faktoren vor  v1,v2 sind beide 0, also  (s.o.)

a= 0 und  a+b = 0

Und daraus kann man ja leicht herleiten, dass a=b=0 sein muss.