Sind v1,v2,v4 linear unabhängig? in C^3

Question

In \( \mathbb{C}^{3} \) seien die folgenden Vektoren gegeben:

\( v_{1}=\left(\begin{array}{c}1-2 \mathrm{i} \\ 3 \mathrm{i} \\ -1+\mathrm{i}\end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -\mathrm{i}\end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{c}-2+\mathrm{i} \\ -3 \\ -1\end{array}\right), \quad v_{4}=\left(\begin{array}{l}\mathrm{i} \\ \mathrm{i} \\ \mathrm{i}\end{array}\right) \)

Sind \( v_{1}, v_{2}, v_{4} \) linear unabhängig?

Ansatz:

a1*v1+a2*v2+a4*v4=0   a1,a2,a4 € C

\( \begin{pmatrix} 1-2i& 4&i \\ 3i & 0&i\\ -1+i&-i&i \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} a1\\a2\\a3 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Zeile 2 liefert:

3ia₁+ia₄=0 /-3ia₁

ia₄=-3ia₁ / :i

-->a4=-3a₁

Zeile 1 liefert:

(1-2i)a₁+4a₂-3ia₁=0

a₁-2ia₁-3ia₁+4a₂=0

-a₁-5ia₁+4a₂=0

a₁(-1-5i)+4a₂=0 / -a₁(-1-5i) /:4

--> a₂=\( \frac{-a1(-1-5i)}{4} \)

Zeile 3 liefert:

(-1+i)a₁-\( \frac{i(-a1(-1-5i))}{4} \)-3ia₁=0

--> \( \frac{-4a1+4ia1-a1i+5a1-12ia1}{4} \) = \( \frac{a1(1-9i)}{4} \)

\( \frac{a1(1-9i)}{4} \)=0 ⇒ a₁=0

Einsetzten in a₂, a₄

a₂= 0*(-1-5i)/4⇒a₂=0

a₄=-3*0 ⇒ a₄=0

a1=a2=a4=0 , somit sind v1,v2,v4 linear unabhängig, weil es nur die triviale Lösung gibt.

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Kann man das direkt so machen, ohne die Matrix erstmal auf Stufenform zu bringen?

Wäre das so korrekt?