Aufgabe:
Hallo Meine Lieben,
Ich soll überprüfen ob die angegebenen Abbildungen a) bis e) ℝ-Linear. sind.
a) Die Abbildung \( f_{1}: \mathbb{R} \) mit \( x \mapsto x^{2} \) ist \( \mathbb{R} \) -linear.
b) Die Abbildung \( f_{2}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) mit \( x+i y \mapsto x \) ist C-linear.
c) Die Abbildung \( f_{3}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) mit \( x+i y \mapsto-y+i x \) ist C-linear.
d) Die Abbildung \( N: \mathrm{Abb}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f \mapsto f(0) \) ist \( \mathbb{R} \) -linear.
e) Die Abbildung \( s: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
$$ s(x, y):=\sum \limits_{j=1}^{n} x_{i} y_{i} $$
ist \( \mathbb{R} \) -linear.
f) Welche der fünf Abbildungen ist ein Mono-, Epi-, Iso-, Endo- oder Automorphismus über dem jeweils angegebenen Körper? Begründen Sie.
Was ich weiß:
Für eine R- Lineare Abbildungen sind folgende Eigenschaften zu Beweisen
A) Additive:
f(u)+f(v)=f(u+v)
B) Homogentiät
f( a• v) = f(v) •a
( Zudem muss die Abbildung HOM. Sein)
Problem:
Bei a) habe ich ein x^2 , muss ich dann ein u) konstruieren?
Z.b
V= x^2
U= y^2
f(u)+f(v)= f(y^2)+f(x^2)= ....
B/C)wir befinden uns jetzt im Komplexen Körper ( wenn Abbildung C-linear, dann auch R-Linear)
Würde es da auch reichen wenn ich ein neues U ) konstruiere??
Oder ist
U= Realteil
v= Imaginärteil
D) da hier f(0) steht, reicht es dann aus wenn ich für u=0 Und v= 0 setzte? (nullvektor )
E) da hab ich überhaupt keine Idee :(
f)
Ich weiß was die Eigenschaften bedeuten und welche Voraussetzungen man haben muss.
Problem:
Ich weiß nicht, wie ich mit der Surjektivität, Injektivität und Bijektivität umgehen soll. Hat vielleicht jmd. ein Tipp, wie ich es an den Abbildungen erkennen kann?
Definition der drei sind mir Bekannt, aber gerne würde ich nun weiter kommen wollen und diese direkt aus der Abbildung lesen ( Ich würde es gerne Begründen wollen und nicht mathematisch zeigen)
Für alle die mir helfen wollen:
Ich möchte an den Aufgaben zusammen mit euch arbeiten um ein möglichst gutes Verständnis für die Mathematik zu entwickeln.
Verstehen und Anwenden ;)
Ich Danke allen im Voraus, die mir dabei Helfen.
