Question

Finden Sie einen Vektorraum V und lineare Abbildungen ϕ, ψ :

V → V , so dass ϕ injektiv, aber nicht surjektiv ist, und ψ surjektiv, aber nicht
injektiv ist.

Answer 1

schau mal dort

https://www.mathelounge.de/891116/finden-vektorraum-lineare-abbildungen-injektiv-surjektiv

Comments

Die Antworten da verstehe ich nicht

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Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten

wäre etwa ℝ[x] .

Betrachte die Abbildung f : ℝ[x] → ℝ[x]

                mit   f (p(x))  = x* p(x) .

Die ist linear, weil f( p(x)+q(x) ) = x*(p(x)+q(x))

= x*p(x)+x*q(x) = f( p(x))+f(q(x) )  und homogen

zeigst du ähnlich.

Die ist injektiv, weil aus f(p(x)) = f(q(x)) folgt p(x)=q(x)

und nicht surjektiv, weil z.B. das konstante Polynom 1

nicht als Bild vorkommt.