Extremwertaufgabe - Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel

Question

Aufgabe:

Ein Mülleimer soll neu designt werden und die Form eines Zylinders mit einer aufgesetzten Halbkugel haben.

Der   zylinderförmige Teil des Mülleimers soll insgesamt 55 Liter Fassungsvolumen haben, sodass ein 50 Liter-Müllsack leicht Platz findet.

1) Wie müssen die Höhe und der Radius gewählt werden,sodass der Metallverbrauch des gesamten Mülleimers(ohne der Grundfläche, die aus Plastik besteht) möglichstklein gehalten werden kann?

2) Wenn der gesamte Mülleimer inklusive der Halbkugel einFassungsvolumen von 55 Litern haben soll, bekommt mandie folgenden Ergebnisse für die „optimalen“ Ergebnisse: r= 2,97dm und h=0 dm. Wie würde sich dann das Aussehen des Mülleimers verändern? Sind diese Maßepraktikabel?

Problem/Ansatz:

Oberfläche einer Kugel = 4⋅r²*pi

Wie stelle ich die Hauptbedingung, Zielfunktion und Nebenbedingung auf. Bitte um Lösung der Aufgabe!

Vielen Dank!

Answer 1

1. Formel für das Aufstellen, was minimal/maximal werden soll

2. Nebenbedingungen aufstellen

3. Nebenbedingungen verwenden um aus der Formel Variablen zu eliminieren. Ergebnis ist die Zielfunktion.

Zu 1:

sodass der Metallverbrauch des gesamten Mülleimers(ohne der Grundfläche, die aus Plastik besteht) möglichstklein

Die Oberfläche soll möglichst klein sein. Also stellen wir einen Term für die Oberfläche auf.

Die Oberfläche besteht aus einem Zylindermantel M mit

        M = 2πrh

und einer Halbkugel H mit

        H = 2πr².

Für die Oberfläche O = M + H gilt also

(1)    O = 2πr² + 2πrh.

Zu 2:

Der zylinderförmige Teil des Mülleimers soll insgesamt 55 Liter Fassungsvolumen haben

Volumen V eines Zylinders ist

        V = πr²h,

also

(2)        55 = πr²h

Weil 1 Liter = 1 dm³ ist, verwende ich dm als Längeneinheit. Das erspart Umrechnung von Litern in m³ oder in cm³.

Zu 3:

Gleichung (2) nach h auflösen ergibt

(3)        h = 55/(πr²)

Einsetzen von (3) in (1) ergibt

      O = 2πr² + 2πr·55/(πr²)

was sich vereinfachen lässt zu

      O = 2πr² + 110/r

Die Zielfunktion hat also die Funktionsgleichung

        O(r) = 2πr² + 110/r.

Bestimme den Tiefpunkt der Zeilfunktion.

Comments

Vielen Dank Oswald!

Ich habe als Ergebnis r= 2.061 dm; h= 4.122 dm O=80.067 dm² erhalten.
Ich hoffe dies stimmt.
Haben Sie die Lösung zur Aufgabe b) auch, und was hat es mit den 50 L auf sich?

Answer 2

Hallo,

willkommen in der Mathelounge.

du kennst das Volumen des Zylinders

\(V=\pi\cdot r^2\cdot h=55\). Das ist die Nebenbedingung

Stelle die Gleichung nach h um und setze sie in die Hauptbedingung = Oberfläche ein

\(O_{Halbkugel}= 2r^2\cdot\pi \\+ O_{Zylindermantel}=2\pi\cdot r\cdot h\)

Bilde die 1. Ableitung, setze sie = 0 und löse nach r auf.

Falls du noch Fragen hast, melde dich bitte.

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank Silvia!

Ich habe als Ergebnis r= 2.061 dm; h= 4.122 dm O=80.067 dm² erhalten.
Ich hoffe dies stimmt.
Haben Sie die Lösung zur Aufgabe b) auch, und was hat es mit den 50 L auf sich?

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Hallo,

deine Ergebnisse stimmen, aber ich denke es reicht, wenn du die Angaben auf 2 Stellen nach dem Komma berechnest.

Zu b): Ist

r= 2,97dm und h=0 dm.

richtig?

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2) Wenn der gesamte Mülleimer inklusive der Halbkugel einFassungsvolumen von 55 Litern haben soll, bekommt mandie folgenden Ergebnisse für die „optimalen“ Ergebnisse: r= 2,97dm und h=0 dm. Wie würde sich dann das Aussehen des Mülleimers verändern? Sind diese Maßepraktikabel?

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Ich finde eine Höhe von null recht niedrig.

Answer 3

Merke:Die gesuchte Größe liefert immer die Hauptgleichung (Hauptbedingung),weil die ja optimiert werden soll.Die Hauptgleichung hat 2 Unbekannte oder mehr,je nach Aufgabe.

Mindestens 1 Unbekannte muß durch eine Nebengleichung ersetzt werden.Man erhält so eine Gleichung (Funktion) der Form y=f(x)=...

Nun muß man eine Kurvendiskussion durchführen,Extrema bestimmen

1) O=2*r*pi*h+2*pi*r²  Oberfläche=Matelfläche Zylinder+Oberfläche halbe Kugel

2) V=r²*pi*h → h=V/(r²*pi)  ist das Volumen des Zylinders (ohne Volumen der Kugel)

2) in 1)

O(r)=2*r*pi*V/(r²*pi)+2*pi*r²=2*V/r+2*pi*r²

O(r)=2*pi*r²+2*V*1/r abgeleitet

O´(r)=0=4*pi*r-2*V*1/r²  spezielle Quotientenregel (1/v)´=-1*r´/r²

multipliziert mit r²

0=4*r³-2*V Nullstelle r=3.te Wurzel(2*V/(4*pi)=3.te Wurzel(2*55.000 cm³/(4*pi)=20,61 cm

noch mal abgeleitet

O´´(r)=4*pi+4*V/r³ mit O´´(19,96)=4*pi+4*55.000/20,61³=37,69>0 also ein Minimum

Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.

Hinweis: 1 Liter=1000 cm³  oder 1 Liter=1 dm

~plot~6,283*x^2+110000/x;[[-1|25|4000|40000|]];x=20,61~plot~

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Vielen Dank!

Ich habe als Ergebnis r= 2.061 dm; h= 4.122 dm O=80.067 dm² erhalten.
Ich hoffe dies stimmt.
Haben Sie die Lösung zur Aufgabe b) auch, und was hat es mit den 50 L auf sich?

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Is mir zu viel Arbeit,die ich nicht bezahlt bekomme.

Privat gebe ich Nachhilfe und da bekomme ich wenigstens etwas Geld.

Die Vorgehensweise ist immer gleich

Text erkannt:

Losung:A-groBe F1ache minus kleine F1 \( A=A g-A k \quad A k=2 * A 1+2 \cdot A 2 \)
\( A g=15 \in \mathbb{m}+10 \quad c=150 \quad c m^{2} \)
Ak wird durch die 4 "rechtuinkligen Dreiecke" gebildet, wovon jeweils 2 sleich sind
F1ache vom rechtwinkligen Dreieck \( A=1 / 2^{*} a^{4} \)
\( A=150-(15-x) * x-(10-x) * x=150-15 * x+x^{2}-10 * x+x^{2} \)
\( A(x)=2^{*} x^{2}-25^{*} x+150 \)
Nun eine Kurvendiskussion durchfuhren.
Bedingung "Maximum" \( f^{\prime}(x)=0 \) und \( f^{\prime \prime}(x)<0 \) "Minimum" \( f^{\prime}(x)=0 \)
\( >0 \)
abge leitet
\( A^{\prime \prime}(x)=4>0 \) also 11 egt be
Ein quaderförmige Breit und der Hohe "h" (aile Maße im dm) Decke1. Lange und Breite stehen im Verhätnis 2: 1 . Die Gesamt flache, bestehegd aus der Grundf1ache und den vier Seitenf1áchen,betrag \( 50 \mathrm{dm} \)
Bed der Berechnung kann auf Binzelheiten verzichtet verden. Runden Sie im Folgenden Ihre Ergebnisse auf 2 Nachkomaste11en.
a) Zeigen sie, dass unter der oben genannten Bedingungen folgender Zusamenhang zwischen der Hohe und der Breite "b" den Aquariuns begteh

abe

3) durch Nebengleichungen muß man Unbekannte ersetzen,so das man eine Gleichung (Funktion) mit der unabhängigen Laufvariablen hat.

also der Form y=f(x)=....

oft ist es so,dass eine Unbekannte durch eine Funktion f(x)=... ersetzt wird

Hier eine Standardaufgabe,die auf´n Gymnasium verlangt wird.

Text erkannt:

Losung:A-groBe F1ache minus kleine F1 \( A=A g-A k \quad A k=2 * A 1+2 \cdot A 2 \)
\( A g=15 \in \mathbb{m}+10 \quad c=150 \quad c m^{2} \)
Ak wird durch die 4 "rechtuinkligen Dreiecke" gebildet, wovon jeweils 2 sleich sind
F1ache vom rechtwinkligen Dreieck \( A=1 / 2^{*} a^{4} \)
\( A=150-(15-x) * x-(10-x) * x=150-15 * x+x^{2}-10 * x+x^{2} \)
\( A(x)=2^{*} x^{2}-25^{*} x+150 \)
Nun eine Kurvendiskussion durchfuhren.
Bedingung "Maximum" \( f^{\prime}(x)=0 \) und \( f^{\prime \prime}(x)<0 \) "Minimum" \( f^{\prime}(x)=0 \)
\( >0 \)
abge leitet
\( A^{\prime \prime}(x)=4>0 \) also 11 egt be
Ein quaderförmige Breit und der Hohe "h" (aile Maße im dm) Decke1. Lange und Breite stehen im Verhätnis 2: 1 . Die Gesamt flache, bestehegd aus der Grundf1ache und den vier Seitenf1áchen,betrag \( 50 \mathrm{dm} \)
Bed der Berechnung kann auf Binzelheiten verzichtet verden. Runden Sie im Folgenden Ihre Ergebnisse auf 2 Nachkomaste11en.
a) Zeigen sie, dass unter der oben genannten Bedingungen folgender Zusamenhang zwischen der Hohe und der Breite "b" den Aquariuns begteh