Extremwertaufgabe, Volumen von zylinderförmiger Dose gegeben. Wie minimale Oberfläche?

Question

Es soll eine zylinderförmige Dose entworfen werden. Das Volumen wird fertgelegt auf 0,5L, die Höhe  und der Radius sind jedoch variable.

Die Oberfläche OF soll minimal werden, Wie sind die Höhe h und der Radius r zu wählen?

Kann mir bitte einer beider Aufgabe helfen, habe Schwierigkeiten die Funktion aufzustellen :(

Mein Ansatz ;

Hauptfuntion: OF: 2π*r²+2π*r*h

Nebnfuntion: NB: V= π*r²*h        => nach h aufgelöst  h= 0,5L/π*r²

 ich muss ja jetzt die Nebenfunktion in die Hauptfunktion Einsätzen und dann nach das Minimum ausrechnen. mir fällt es schwer mit pie zu rechnen,

würde mich freuen wenn mir jemand hilft gemeinsam die letzten Schritte bis zum Ergebnis zu rechen

lg momi

Comments

Vgl. deinen Ansatz mit https://www.mathelounge.de/508062/extremwertaufgabe-zylindrische-moglichst-material-gegebenes

Answer 1

h = 0,5L/π*r²
π = 3.14 ( Kreiszahl als Konstante )

alles in cm
0.5 liter = 500 cm^3
h ( r ) = 500 / (π * r^2 )
OF = 2π*r^2 + 2π*r*h
einsetzen
OF ( r )  = 2π*r^2 + ( 2π*r* 500 ) / (π * r^2 )
OF ( r )  = 2π*r^2 + 2 * 500 / r
OF ´( r ) = 4 * π * r - 1000 / r^2
Extremwert
4 * π * r - 1000 / r^2 = 0
4 * π * r = 1000 / r^2
r^3 = 1000 / ( 4 * π )
r^3 = 79.57
r = 4.3 cm

h = 500 / (π * r^2 )

Bei Bedarf nachfragen

Comments

vielen Dank für die schnelle Antwort ! :)

Eine Frage hätte ich da noch.

wie kommt die erste Ableitung OF' (r)  zustande ?

Man leitet dohc 2*500/r ab, warum wechselt sich dann das Fortzeichen und warum wird es mehr (-1000/r²)

Kann den Ableitungsschritt nicht ganz nachvollziehen

---

2 * 500 / r
[ 2 * 500 * r^(-1 ) ]  ´

Ableitung über die Potenzregel allgemein
[ r^(b) ] ´ = b * r^(b-1)

2 * 500 * (-1) * r^(-1 - 1)
-1000 * r^(-2)
-1000 / r^2

Answer 2

pi ist eine Zahl. Schleif sie einfach mit!

Answer 3

h in die HB eingesetzt ergibt die Zielbedingung:

\(Z(r) = 2 \pi \cdot r \cdot \left( r + \dfrac{0.5}{\pi\cdot r^2} \right) = \dfrac{1}{r}+2\pi\cdot r^2\)

Pi kannst du als Konstante wie z.B. 1 oder 2 betrachten. Abgeleitet ergibt sich somit:

\(Z'(r) = \left[\dfrac{1}{r} \right ]' + \left[2\pi\cdot r^2 \right ]' \\ -\dfrac{1}{r^2} + \left[2\pi\cdot r^2 \right ]'\\ = -\dfrac{1}{r^2} + 2\pi\left[ r^2 \right ]' \\ = -\dfrac{1}{r^2} + 2\pi\cdot 2r = -\dfrac{1}{r^2} + 4\pi r\)

Hier dann noch das Minimum berechnen.

Answer 4

O=2πr^2+2πr*0,5/(πr^2)

  =2πr^2+1/r

O'=4πr-1/r^2=0

4πr=1/r^2

4πr^3=1

r^3=1/(4π)

r=^3√(1/(4π))≈0,43