Extremwertaufgabe Kugel mit Zylinder

Question

die Aufgabe ist folgende :

Als Nebenbedingung hab ich erstmal aufgestellt Vk= 4/3 π*R³  und Hauptbedingung Vz=π*r² *2h

Dann hab ich mir noch gedacht das R² =h²  +r²

Dann weiß ich aber irgendwie nicht so richtig weiter. Ich hab immer ein bisschen Probleme wenn man die Nebenbedingung nicht so schön umstellen kann als wenn man jetz zB das Kugelvolumen gegeben hat.

Wär nnett wenn mir hier jmd. weiterhelfen könnte.

Vielen Dank schon mal

Answer 1

Hallo Janik123 :-)

I. V(r, h) = π r^2 2h

r^2 = R^2 - h^2 einsetzen in I.

V(h) = π (R^2 - h^2) 2h = 2π R^2 h - 2π h^3
V(h) = 2π R^2 h - 2π h^3
V'(h)= 2π R^2 - 6π h^2
V'(h) = 0 ⇒ h = R/√3

H = 2h = 2·R/√3

Beste Grüße
gorgar

Korrektur: Exponenten vergessen.

Answer 2

NB:

r^2 + (h/2)^2 = R^2 --> r^2 = R^2 - h^2/4

HB:

V = pi·r^2·h = pi·(R^2 - h^2/4)·h = pi·(R^2·h - h^3/4)

V' = pi·(R^2 - 3·h^2/4) = 0 --> h = √(4/3·R^2)

r^2 = R^2 - (4/3·R^2)/4 = 2/3·R^2 --> r = √(2/3·R^2)