Geben Sie eine Basis von ker(A) an und geben Sie Rg(A) an.

Question

Sei A ∈  M_4,6(R) die Matrix

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 4 & 5 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 6 & 6 & 6 & 6 \\ 2 & 5 & 6 & 9 & 7 & 11 \end{pmatrix} $$

Geben Sie eine Basis von ker(A) an und geben Sie Rg(A) an

Answer 1

Wie schon erwähnt bringst du die Matrix mit dem Gaußalgorithmus auf Stufennormalform:

$$ \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } \\ { 2 } & { 5 } & { 4 } & { 5 } & { 4 } & { 5 } \\ { 1 } & { 4 } & { 6 } & { 6 } & { 6 } & { 6 } \\ { 2 } & { 5 } & { 6 } & 9 & { 7 } & { 11 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 2 } & { 5 } & { 4 } & { 5 } & { 4 } \\ { 0 } & { 1 } & { 4 } & { 5 } & { 5 } & 7 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 4 } & { 3 } & { 6 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & 0 & { 2 } & { 4 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & 0  & { 1 } & { 2 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 6 } & { 0 } & { 6 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - 3 } & { 0 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } \end{array} \right)$$

Damit erkennt man nun zunächst den Rang der Matrix: er entspricht der Anzahl der Stufen in der Stufenform, also 4.

Die Basis des Kerns erhält man, wenn man die Matrix so mit Nullzeilen auffüllt, dass die Einsen alle auf der Diagonale stehen. Die Spalten, in denen nun Nullen auf der Diagonalen stehen bilden die Basis des Kerns, wenn man die 0 noch mti einer -1 ersetzt:

$$ \left( \begin{array} { c c c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 6 } & { 0 } & { 6 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - 3 } & { 0 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 6 } & { 0 } & { 6 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - 3 } & { 0 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) → \left( \begin{array} { c c c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 6 } & { 0 } & { 6 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - 3 } & { 0 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) $$

$$ \text{Basis: } B = \left\{ \begin{pmatrix} 6\\-3\\2\\-1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6\\-3\\0\\0\\2\\-1 \end{pmatrix} \right\}$$

Answer 2

rang ist 4, da  wenn du die matrix auf zeilenstufenform bringst du siehst , dass keine zeile = 0 ist

der rang ist immer die anzahl der zeilen die von 0 verschieden sind.

 

und bei basis von ker(A) bräcuhte ich auch hilfe