Taylorreihe von f(x)= 3^x

Question

Aufgabe:

Bestimme die Taylorreihe von f(x) = 3^x mit Entwicklungspunkt x0=0. In welchen x ∈ R  konvergiert dir Taylorreihe gegen die Funktion, d.h in welchen x ∈ R gilt

 lim n--->unendlich Rn(x) =0 ?

Problem/Ansatz:

ich hab ja die Taylorreihe bestimmt aber der zweite Teil der Frage weiß ich nicht wie kann man den lösen .

kann jemand mir bitte erklären  In welchen x ∈ R  konvergiert dir Taylorreihe gegen die Funktion ?!

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Bestimme die Taylorreihe von f(x) = 3^x mit Entwicklungspunkt x_{0} = 0.

Stichworte: taylorreihe,entwicklungspunkt,funktion,limes,mengen

Bestimme die Taylorreihe von f(x) = 3^x mit Entwicklungspunkt x_{0} = 0. In welchen x ∈ ℝ konvergiert die Taylorreihe gegen die Funktion, das heißt in welchen x ∈ ℝ gilt \( \lim _ { n \rightarrow \infty } R _ { n } ( x ) = 0 \)?

für die Hilfe!

Answer 1

Bestimme einfach den Konvergenzradius deiner Reihe.

Der ist wohl wie bei e^x auch ∞, also konvergiert die Reihe überall.

Comments

Könntest du mir bitte mehr erklären wie macht man das in Schritte  ?!

Vielen Dank

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Dann schreib mal die Taylorreihe auf.

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f(x)=3^x

f^(k) = ln^k (3) * 3^x

f^(0) =  ln^k (3)

Tn= summe von k=0 bis n  ln^k (3)/k! * x^k

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Und jetzt Quotientenkriterium

Konvergenzradius r ist der Grenzwert von

(siehe auch

 https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius )

a_n / a_n+1

=  (  ln(3)^k / k!  )   /    (  ln(3)^(k+1) / (k+1) !  )

= (k+1) / ln(3)

also für k gegen unendlich Grenzwert ∞.

Also Konvergenzgereich ganz R.

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Vielen vielen Dank