orthogonale Matrix berechnen

Question

Aufgabe:

Für die Ebene : x+y+z=0 im Euklidischen R^3 soll man die Orthogonale Projektionsmatrix A bestimmen .

Problem/Ansatz:

Ich habe gelesen man kann diese durch die Formeln A=B*G^-1 *B^T

B=[b1,..,bn] .. die Matrix die aus den erzeugendenvektoren des Unterraumes U (hier E) als spalten besteht ,

B^T die Transponierte Matrix von B.

G^-1 die Inverse Grammsche Matrix  G= B*B^T

dh ich muss zuerst die ebene in Koordinatenform Umwandeln :

nach z auflösen : z=x-y , und jetzt x=k und y=l

dann bekomme ich k*( 1 0 -1) +l*(0 1 -1)

wenn ich nun b1=(1 0 -1) und b2=( 0 1-1) habe und das wie oben nachrechne bekomme ich die Matrix  oder?

geht es vielleicht einfacher ? bzw. stimmt das?

Comments

Du hattest die Koordinatenform der Ebene gegeben und hast in die Parameterform umgewandelt.

Answer 1

Ganz handwerklich betrachtet kommt man dann auf so was?

 

https://ggbm.at/fdsc4t8n

Grundsätzlich sollte doch die Abbildungsmatrix aus den Bildern der Standardbasis bestehen...

Answer 2

bzw. stimmt das?

Ja das stimmt. Die Basis $$\left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}  \right \}$$spannt die Ebene \(x+y+z=0\) auf. Und nach der von Dir beschriebenen Methode kommt man über $$G=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1& 2 \end{pmatrix} \\ G^{-1} = \frac 13 \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ schließlich nach $$A= B \cdot G^{-1} \cdot B^T = \frac13 \begin{pmatrix} 2& -1 &-1 \\ -1& 2& -1 \\ -1& -1& 2 \end{pmatrix}$$Das ist jetzt nicht soooo schwierig und wenn Du ein Tabellenkalkulationsprogramm zur Verfügung hast, kann man das in einer Minute ausrechnen.

geht es vielleicht einfacher?

Jein - kommt darauf an, was Du unter einfacher verstehst. Du könntest statt einer beliebigen Basis eine orthogonale Basis wählen. D.h. die Basisvektoren stehen senkrecht auf einander. Wähle dazu einen der obigen Vektoren und bilde das Kreuzprodukt mit dem Normalenvektor der Ebene. Man erhält z.B. die Basis: $$ u_1,u_2 = \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}$$Mit dieser Basis kannst Du Dir \(G\) sparen (fast). Es ist in diesem Fall $$A = \sum_{i=1}^2 \frac 1{u_i^2} u_i \cdot u_i^T, \quad u_k \perp u_j \space \forall k,j,k \ne j$$Das \(G^{-1}\) schlummert noch in der Division durch \(u_i^2\). Der Ausdruck \(u_i \cdot u_i^T\) ist das dyadische Produkt; das Resultat ist also eine (symmetrische) Matrix. Hier wäre das $$A= \frac 12 \begin{pmatrix} 1&0&-1\\0&0&0 \\-1&0&1 \end{pmatrix} + \frac 16 \begin{pmatrix} 1&-2&1 \\ -2&4&-2 \\ 1&-2&1\end{pmatrix}$$das Ergebnis ist natürlich das gleiche wie oben.

Gruß Werner