Bestimmen Sie α ∈ R so, dass C eine orthogonale Matrix ist.

Question

Aufgabe:

C:= α \( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Bestimmen Sie α ∈ R so, dass C eine orthogonale Matrix ist.

Problem/Ansatz:

Nachdem ich zuerst die Matrix C^T mit C multipliziert habe, habe ich \( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \) erhalten.

Nun dachte ich, dass α  = \( \frac{1}{2} \) ist, jedoch ist das Ergebnis auch falsch...
Laut der Lösung ist α = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \). Wie komm ich aber darauf?

Answer 1

Die Spalten einer orthogonalen Matrix

müssen Vektoren der Länge 1 sein, also normiert sein.

Der erste Spaltenvektor hat die Länge \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\),

also muss man ihn durch \(\sqrt{2}\) teilen, d.h.

mit \(1/\sqrt{2}\) multiplizieren. Für die zweite Spalte

gilt das Gleiche.

Comments

Jetzt hab ich's verstanden, vielen Dank!

Answer 2

Du hast gar nicht \(C^TC\) gerechnet. Hättest du es gemacht, wärst du auf \(\alpha^22I\) gekommen, woraus das richtige \(\alpha\) sofort folgt.

Und es gibt auch zwei Lösungen, nicht nur eine.