Aufgabe:
A sei \( \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \)
Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix B so, dass B * A * B^(-1) eine Diagonalmatrix D ist und gebe sie diese an.
Problem/Ansatz:
Ich weiß, dass wenn ich nur eine Matrix B zur Diagonalmatrix aufstellen müsste, ohne die Orthogonalität zu berücksichtigen, nur die Eigenvektoren von A in die Spalten von B schreiben müsste.
EW: (-2) ist doppelt, 4 ist einfach
EV: \( \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \)
Da ich aber eine orthogonale Matrix brauche, muss ich diese Vektoren noch normieren.
Also: \( \frac{1}{ \sqrt{2} } \) * \( \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) , \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) * \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \)
Also: B = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{-1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \)
Darauf berechne ich B(^-1):
B(^-1) = \( \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & \sqrt{2}\end{pmatrix} \)
und D ist ja:
D = \( \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \)
Allerdings ist jetzt komischerweise B * A * B^(-1) ≠ D
Also wo meint ihr liegt der Fehler?
