Orthogonale Matrix, Diagonalgestalt.

Question

Moin,

Ich sitze an folgender Altklausuraufgabe und mir fehlt der Ansatz :

Es sei

$$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0\end{pmatrix}$$

Man gebe eine orthogonale Matrix C an, für die C^TAC Diagonalgestalt hat. Wie lautet diese Diagonalgestalt und wie ist die Vielfachheit der Eigenwerte von A?

Ich wäre für Hilfe sehr dankbar!

Comments

Als erstes wären Eigenwerte und Eigenvektoren zu berechnen.

Answer 1

Aloha :)

Wir wollen die Matrix folgende Matrix diagonalisieren:$$A=\left(\begin{array}{rrr}0 & -1 & 1\\-1 & 0 & -1\\1 & -1 & 0\end{array}\right)$$

1) Eigenwerte

Dazu benötigen wir zuerst die Eigenwerte. Diese sind die Lösungen des charakteristischen Polynoms:$$0\stackrel!=\operatorname{det}\left(A-\lambda\cdot\mathbf 1\right)=\left|\begin{array}{rrr}-\lambda & -1 & 1\\-1 & -\lambda & -1\\1 & -1 & -\lambda\end{array}\right|\stackrel{(Z_2=Z_2+Z_3)}{=}\left|\begin{array}{rrr}-\lambda & -1 & 1\\0 & -\lambda-1 & -\lambda-1\\1 & -1 & -\lambda\end{array}\right|$$$$\phantom{0}=\left|\begin{array}{rrr}-\lambda & 1 & -1\\0 & \lambda+1 & \lambda+1\\1 & 1 & \lambda\end{array}\right|=-\lambda\left((\lambda+1)\lambda-(\lambda+1)\right)+(\lambda+1)+(\lambda+1)$$$$\phantom{0}=-\lambda(\lambda+1)(\lambda-1)+2(\lambda+1)=-(\lambda+1)(\lambda^2-\lambda+2)$$$$\phantom{0}=-(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda+1)=-(\lambda+1)^2(\lambda-2)$$Wir finden die Eigenwerte:$\quad\lambda_1=\lambda_2=-1\quad;\quad\lambda_3=2$.

Die arithmetische Vielfachheit des Eigenwertes $-1$ ist zwei und die des Eigenwertes $2$ ist eins.

2) Eigenvektoren

Zu diesen Eigenwerten benötigen wir die Eigenvektoren.

Dazu bestimmen wir den Kern der charakteristischen Matrix für $\lambda=-1$:$$\begin{array}{rrr|r|l} x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline1 & -1 & 1 & 0 & \\-1 & 1 & -1 & 0 &+\text{Zeile 3}\\1 & -1 & 1 & 0 &-\text{Zeile 1}\\\hline1 & -1 & 1 & 0 & \\0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 0 & 0 &\end{array}$$Es bleibt eine Bestimmungsgleichng $y=x+z$ übrig$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\x+z\\z\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$

und den Kern der charakteristischen Matrix für $\lambda=2$:$$\begin{array}{rrr|r|l} x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline-2 & -1 & 1 & 0 &+2\cdot\text{Zeile 3}\\-1 & -2 & -1 & 0 &+\text{Zeile 3}\\1 & -1 & -2 & 0 &\\\hline0 & -3 & -3 & 0 &\colon(-3)\\0 & -3 & -3 & 0 &-\text{Zeile 1}\\1 & -1 & -2 & 0 &\\\hline0 & 1 & 1 & 0 &\\0 & 0 & 0 & 0 &\\1 & -1 & -2 & 0 &+\text{Zeile 1}\\\hline0 & 1 & 1 & 0 &\Rightarrow y=-z\\0 & 0 & 0 & 0 &\\1 & 0 & -1 & 0 &\Rightarrow x=z\end{array}$$Als Lösung lesen wir ab:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z\\-z\\z\end{pmatrix}=z\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$$

Damit haben wir die drei Eigenvektoren:$$\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_3=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$$

Die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes $-1$ ist zwei und die des Eigenwertes $2$ ist eins.

3) Orthonormierung

$\vec v_1$ und $\vec v_3$ sind schon orthogonal. Wir müssen noch $\vec v_2$ orthogonalisieren:

$$\vec v'_2=\vec v_2-\frac{(\vec v_1\cdot\vec v_2)}{\left\|\vec v_1\right\|^2}\cdot\vec v_1-\frac{(\vec v_3\cdot\vec v_2)}{\left\|\vec v_3\right\|^2}\cdot\vec v_3=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}-\frac12\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}-0\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac12\\[0.5ex]\frac12\\[0.5ex]1\end{pmatrix}$$

Damit haben wir die Eigenvektoren orthonormiert:$$\vec w_1=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec w_2=\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}\quad;\quad\vec w_3=\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$$

4) Ergebnis

Damit haben wir die gesuchte Transformationsamtrix $C$ bestimmt:$$C=\left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt6} & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt6} & -\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]0 & \frac{2}{\sqrt6} & \frac{1}{\sqrt3}\end{array}\right)$$und die transformierte Matrix hat die Form:$$A'=C^T\cdot A\cdot C=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 2\end{array}\right)$$

Comments

Danke, für die ausführliche Antwort !