Hauptachsentransformation, Diagonalmatrix, orthogonale Matrix

Question

Hallo, die Aufgabe lautet folgendermaßen:

Führen Sie die reelle Hauptachsentransformation durch an der Matrix

\( \begin{pmatrix} 1 & -5 & √2  \\ -5 & 1 & -√2 \\ √2 & -√2 & 6 \end{pmatrix} \)

d. h. finden Sie eine orthogonale Matrix X und eine Diagonalmatrix D mit A = X^T * D *X

Nun meine Frage: Wo muss ich anfangen? muss ich zuerst X oder zuerst D bestimmen? Welches Verfahren muss ich anwenden? Wie muss ich vorgehen?

Es wäre super nett, wenn mir jemand Lösungsansätze geben könnte.

Danke

Answer 1

Erst mal die >>Eigenwerte bestimmen durch

det(A-x*E)=0 Das gibt 4 und -4 und 8.

Zu jedem der Eigenwerte einen Eigenvektor bestimmen

z,B   A - 4*E =0 gibt  z.B.

                      -√2     
Vektor x =       √2
                         2

entsprechend für die anderen Eigenwerte gibt es Eigenvektoren wie

                           1
     Vektor y =      1 
                            0

und                       √2 
      Vektor x =       -√2     
                              2

Jetzt musst du die noch alle normieren auf

die Länge 1 und  hast damit die Spalten der  Matrix X=

-1/2       √2/2         1/2
1/2       - √2/2        -1/2
√2/2          0           √2/2

 

Comments

Dankeee und die Diagonalmatrix besteht dann aus den Eigenwerten auf der Diagonalen stimmts?

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So ist es genau !