Matrix als Verknüpfung einer orthogonal Matrix, Diagonalmatrix und einer oberen Dreiecksmatrix

Question

Aufgabe:

Zu zeigen ist, dass sich jede Matrix S aus GLn(IR) als Verknüpfung einer orthogonalen Matrix K, einer oberen Dreiecksmatrix U und einer Diagonalmatrix T darstellen lassen kann.

S = KTU


Meine Ideen:
in der vorherigen Aufgaben sollte man diese Matrizen K,T und U für S bestimmen.

S = 0   2   3
      1   2   -1
      0   1   1

Ich habe hier das Gram-Schmidt-Verfahren angewendet, um die Orthogonalbasis von S zu bestimmen. Dabei habe ich w1 = (0,1,0); w2 = (2,2,1) und w3 = (3,-1,1) bestimmt. Diese Vektoren bilden dann die Spalten meiner Matrix M und MU = S

Dann bekomme ich für U die folgende Gestalt: 1   2   -1
                                                                           0   1   1,4
                                                                           0   0    1

Und jetzt? Kann ich aus M dann K irgendwie schon ablesen?

Ich bin reichlich überfordert, wie ich das anwenden soll, und weiß deswegen schon gar nicht wie ein allgemeiner Beweis aussehen soll.

Gibt es ein Beispiel für so eine Rechnung, ich konnte leider im Internet nichts finden, weiß aber auch nicht ob es einen extra Begriff für so eine Rechnung gibt "Verknüpfung aus orthogonaler Matrix, Diagonalmatrix und oberen Dreiecksmatrix" ist ja nur erfunden.

Answer 1

Mittels QR Zerlegung kann  man eine Matrix \( A \) immer in der Form
$$ A = Q \ R  $$ schreiben, wobei \( Q \) eine orthogonale Matrix ist und \( R \) eine obere Dreiecksmatrix.
siehe hier https://de.wikipedia.org/wiki/QR-Zerlegung

Diese Zerlegung ist aber nicht Eindeutig. Denn wenn \( A = Q_1 R_1 = Q_2 R_2 \) gtilt, folgt \( R_1 = Q_1^T Q_2 R_2 = S R_2 \) mit \( S = Q_1^T Q_2 \)
Es gilt aber \( S^T S = Q_2^T Q_1 Q_1^T Q_2 = I \)
Da \( A \) invertierbar ist, sind auch \( R_{1,2} \) invertierbar und \( S = R_1 R_2^{-1}  \) sowie auch \( S^T = R_2 R_1^{-1} \) sind obere Dreiecksmatrizen. Also ist \( S \) eine Diagonalmatrix. Damit gilt \( S^T S = S^2 = I \)
D.h. \( S_{ii} = \pm 1 \) und somit gilt \( Q_2 = Q_1 S \)
Also \( A = Q_1 S R_1 \)