5. Beweisen Sie, dass die Inverse zu einer oberen Dreiecksmatrix

Question

Beweisen Sie, dass die Inverse zu einer oberen Dreiecksmatrix
A ∈ M(n, n, K) mit det A ̸= 0 wieder eine obere Dreiecksmatrix ist.
Definition. Eine Matrix A ∈ M(n, n, K) heißt obere Dreiecksmartix, falls Ai,j = 0
für alle 1 ≤6 j ≤ i 6 n ist.

Ich weiss, dass diese Frage 2013 schonmal gestellt wurde, nur verstehe ich die Antwort nicht und würde mich über eine erklärte Lösung freuen.

Answer 1

Beweis per Induktion über \(n\).
Die Aussage gilt offenbar für \(n=1\).
Sei nun \(n>1\) und die Aussage für \(n-1\) bereits bewiesen.
Es ist \(A=\left(\begin{array}{c|c}a&\quad b^\top\quad\\\hline\begin{matrix}0\\\vdots\\0\end{matrix}&B\end{array}\right)\), wobei \(a\) ein Körperelement, \(b\) ein Vektor der Dimension \(n-1\) sowie \(B\) eine obere \((n-1)\times(n-1)\)-Dreiecksmatrix ist. Wegen \(\det A\ne0\) sind alle Diagonalelemente von \(A\) von \(0\) verschieden, d.h. \(a\) und \(B\) sind invertierbar.
Definiere nun eine \(n\times n\)-Matrix durch \(A^*:=\left(\begin{array}{c|c}\frac1a&-\frac1ab^\top B^{-1}\\\hline\begin{matrix}0\\\vdots\\0\end{matrix}&B^{-1}\end{array}\right)\). Nach Induktionsvoraussetzung ist \(B^{-1}\) eine obere Dreiecksmatrix, also auch \(A^*\). Rechne nun nach, dass \(A\cdot A^*=I\) gilt.